Daca

sunt numere intregi, sa se rezolve ecuatia:

Inmultind cu 8 si substituind cum trebuie dam de o ecuatie ceva mai generala:

Este ecuatia unei curbe eliptice pentru care stim
- din teorema Nagell-Lutz ca avem un numar finit de puncte cu coordonate in ZZ care sunt puncte "de torsiune pe curba", mai mult, in acest caz Y este nul sau divide discriminantul curbei date, -27648 = - 2^10 3^3
- si ca dintre celelalte puncte care nu sunt de torsiune avem de calculat o baza si combinatii liniare cu coeficienti intregi de elementele din baza, luand si punctele de torsiune cu noi - "pana dam de numitori".

(Exista o masura, height, "inaltime", pentru punctele de pe o curba eliptica. Punctele de torsiune au inaltimea nula. Generatorii au inaltime mica. Cu cat "adunam eliptic" mai mult, cu atat dam de inaltimi mai mari.)

Exista algoritmi speciali de calculat punctele intregi de pe o curba eliptica.

Pe curba de mai sus se afla urmatoarele puncte cu coordonate intregi:
A(0,-2), B(3,1), C(4,2), D(312,46) .
(Calculate cu computerul.)
Pe prima componenta mai putem schimba semnul.

A are inaltimea zero, este punct de torsiune.
B are inaltimea 0.653..., este punct generator al unei parti libere.
C=A-B are inaltimea 0.653..., este punct generator al unei alte parti libere, el e obtinut din B.
D=2B-A are inaltimea 2.612..., este de asemenea obtinut din B.
(Deoarece 3B = ( -9765/1331, 433/121 ) nu mai dam de un punct intreg probabil ca nu mai avem nici o sansa sa dam de componente doar intregi...)
Pentru mine, aceasta solutie e cea mai simpla.

Revenim la problema data.
Un mod posibil de a rescrie ecuatia data este:

unde ABCD este descompunerea lui y^15+1 in factori "primi vazuti ca polinoame in y mai intai".
Aici putem privi de la caz la caz A = A(y), ... ca polinoame in y.
Daca voi scrie B(-1) ma refer la inlocuirea lui -1 in y-ul din definitia lui B.
Calculand cateva rezultante de cate doua polinoame, avem:

Rezultant( A,B ) = B(-1) = 3 (Bezout)
Rezultant( A,C ) = C(-1) = 5 (Bezout)
Rezultant( A,D ) = D(-1) = 1 (Bezout)

Rezultant( B,C ) = 1 (Euclid pentru polinoame)
Rezultant( B,D ) = 25 (Euclid pentru polinoame)

Rezultant( C,D ) = 81 (Euclid pentru polinoame)

iar valorile pentru cate doua rezultante determina prin divizorii lor ce divizori comuni pot avea perechile respective la specificarea de valori y.

Vedem ca doar unul din numere se poate divide cu 2.
Acesta este A. (Peste tot putem grupa (y^2-y)+1 in rest, numar impar.)
De aici putem scrie relatii mai explicite

cu puteri naturale pentru 2,3,5 si k,l,m,n naturale.

Tot asa cum in cazul curbei eliptice numerele prime 2,3 joaca un rol important (pentru determinarea punctelor de torsiune) ne putem astepta si aici sa impartim pe cazuri dupa valori pe care le putem da puterilor (care se exclud cumva reciproc) si sa ajungem la o solutie... Nu insist, daca gasesc o solutie usoara pe aceasta tema o sa o public...

Revenim la problema data.
Ea este problema de a determina punctele "intregi" de pe o curba hipereliptica. Si pentru astfel de curbe exista algoritmi de calcul. Dar ei sunt foarte complicati. Multi matematicieni prefera studiul curbei eliptice prin care "factorizeaza structura"...

Mai bine va spun ca ecuatia nu are solutie cu

. Asa ca mai bine lucram cu congruente modulo ca sa ajungem la o contradictie

Mai sus este deja o solutie, scrisa la un nivel avansat, dar pentru o problema diofantiana ceva mai lejera. Pe scurt:

Daca avem o solutie pentru ecuatia data in ZZ, atunci avem si o solutie pentru ecuatia (afina) a unei curbe eliptice:

Y^2 = X^3 + 8

(am schimbat notatii, ca sa dau de cele naturale pentru ecuatia unei curbe (hiper)eliptice). Computerul imi da deja bazat pe algoritmi "cunoscuti":

sage: E = EllipticCurve( [0,8] )
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 8 over Rational Field
sage: E.integral_points()
[(-2 : 0 : 1), (1 : 3 : 1), (2 : 4 : 1), (46 : 312 : 1)]

(1-ul din coada trebuie omis, vine din reprezentarea proiectiva a curbei eliptice afine...)
Componenta pe care o ridicam la a a treia pentru a verifica ecuatia nu vine dintr-o ridicate la a cincea.
(Am aratat nu numai cele cerute, ci am rezolvat o ecuatie care o generalizeaza pe cea data.)