Rezolvarea mea din timpul concursului este:

Dupa acest pas am folosit intr-un fel mai "special" inegalitatea mediilor si ma intreb daca este bine:

Este corect?

x,y > 0 si a,b ca mai sus.
Luam doua ponderi lambda = a/(a+b) si mu = b/(a+b) >0 , suma lor este unu.
Inegalitatea de mai sus se rescrie copiata si dupa logaritmare...

Aceasta este inegalitatea Jensen sau definitia concavitatii pentru functia concava ln, nu trebuie decat sa derivam de doua ori.
Acest argument este modul bun de a intelege demonstratia mediilor - imediat intelegem generalizarea cu parametrii nenumarati si arbitrari (ponderi de suma unu) si ne aflam in cadrul natural al analizei matematice, cadrul simplu in care se calculeaza extreme de functii.

N.B. Acea stelutza * este poate mai bine un \cdot in latex, daca vrem sa atragem atentia asupra inmultirii a doua numere reale.

Desi sunt pe sfarsitul clasei a X-a, am studiat doar acasa putin din concavitatea si convexitatea functiilor. Cand am folosit acea inegalitate, am considerat cazul in care a si b sunt numere naturale, caz in care a*x se poate scrie ca o "suma repetata de x". Daca singurul meu argument pentru acea inegalitate a fost "pe baza inegalitatii mediilor", ar trebui sa obtin punctaj maxim?

Bun, daca este vorba de puncte nu este -cred- chiar bine, dar cu inegalitatea e in orice caz bine si asa...

este inegalitatea mediilor pentru x,...,x, y,...,y

Ok, sper totusi sa o puncteze. Imi cer scuze pentru eventualul off-topic, dar ma simt nevoit sa va multumesc, domnule gauss pentru tot ajutorul si tututor celor care fac parte din administratia acest forum si nu numai. Ati creat o comunitate minunata!

Am citit despre inegalitatea lui Jensen. Parametrii trebuie sa aiba suma 1 pentru ca suma

sa se afle in intervalul

, la fel ca si valorile functiei in intervalul

?