| Autor |
Mesaj |
|
|
In tr. ABC, m(B)=40, m(C)=30. Fie D pe (BC) astefel incat m(BAD)=60. Sa se arate ca AB=DC.
|
|
|
[Citat]
In triunghiul ABC se dau
m(B) = 40 ,
m(C) = 30 .
Fie D pe (BC) astefel incat m(BAD) = 60.
Sa se arate ca AB = DC. |
La nivel de clasa a VI-a nu avem nici o sansa sa scriem un (co)sinus acolo, asa ca trebuie sa ne apucam de constructii suplimentare.
Din motive mie (ne)cunoscute, de cele mai multe ori (in astfel de cazuri) am noroc facand constructii suplimentare ce imi umplu un triunghi echilateral. A face constructia cu creionul pe hartie e un joc, a face acest lucru aici e altul. Mai intervine si prezentarea lucrurilor, lucru la care eu de obicei descurajez (*ne*voit) cititorul. Problema este complexitatea matematica a problemelor care nu ies, vreau eu sa cred...
Bun, sa vedem cum vand aici solutia.
M-am decis sa vand doua faze cu dorinta si ruga calduroasa la adresa cititorului de a se opri la un prim pas (cat mai timpuriu), incercand sa faca mai departe rationamentul pe rotitele proprii.
Primul pas:
Incadram triunghiul nostru intr-o constelatie de o simetrie deosebita.
Eu am obtinut-o plecand de la triunghiul dat (in mod mie natural), dar la un prim citit, sa plecam cu finalul - in care sa recunoastem mai tarziu (implicit / explicit) datele problemei. Consideram un triunghi echilateral PQR si centrul lui O.
Ducem inaltimile / bisectoarele / axele de simetrie din P,Q,R prin O desigur, dar nu notam nicicum picioarele lor, ca si asa e loc putin pe pagina.
Ducem si trisectoarele din fiecare varf si ne oprim cu ele in momentul in care am dat de cate o axa de simetrie. Notam cu P', Q', R' punctele in care aceste trisectoare intersecteaza axa de simetrie prin P, prin Q, prin R.
Aici e un punct bun de a nu rata o experienta estetica deosebita, incercand cu propriile dispozitive de desenat si demonstrat...
Obtinem urmatoarea figura...
Nu a iesit ce am vrut, dar mai bine nu se poate in arta ASCII...
Aici, de exemplu,
RR' este bisectoarea lui (PRQ),
QQ' este bisectoarea lui (PQR),
QR' si QP' impart unghiul (PQR) in trei parti egale... care sunt unghiurile triunghiului R'QR ? Un punct bun de oprit citit...
Vine timpul sa facem si o constructie ajutatoare
Triunghiul PQ'R' este desigur isoscel cu unghiurile 20, 80, 80 in grade.
Il "extindem" la un romb PQ'R'X cu unghiurile 20, 80+80, 80+80, 20.
Unghiului QR'X ii mai raman din cele 360 de grade din jurul lui R' doar 60, daca scadem celelalte unghiuri din jur, a caror suma o cunoastem, 70+70+80+80.
Triunghiul QR'X este deci...
Patrulaterul P'QXR este un romb cu unghiurile 40, 140, 140, 40.
Sa notam cu D intersectia lui R'X cu QR.
Unghiurile triunghiului QDX sunt desigur 20, 60, 100.
Unghiurile triunghiului RDX sunt desigur 20, 80, 80.
El este isoscel, de unde
DR = RX = QP' = QR' .
---
df (gauss)
|
|
|
Sa zicem asa  cu creionul in mana...!)
Fie
si
mediatoarele laturilor
si
.(M si N sunt mijloacele laturilor AB si AC). Avem
. In patrulaterul
avem
care este jumatate din unghiul
,deci
. Cum triunghiul BOC este isoscel avem
deci
si cum OCA este isoscel avem
asta inseamna ca
,deci triunghiul
este echilateral,adica
(1). Tot de aici deducem ca intersectia dintre AO si BC este chiar punctul
din problema (deoarece unghiul BAO are masura de
.In triunghiul DOC avem
prin urmare si asta e isoscel deci
(2)
Din (1)+(2) avem ca
---
Doamne ajuta...
Petre
|
|
|
(Doar o paranteza, cele doua solutii sunt una, O-ul de mai sus si X-ul de si mai sus coincid, important e sa ne vina idea sa ne legam de acest punct...)
---
df (gauss)
|
Access general
Conţine mesaje necitite
