Avem asa :

S? se arate c? ecua?ia

are exact dou? r?d?cini

si

S? se calculeze

, unde sirul

a fost definit la punctul anterior .

Fie n > 2 fixat.
Derivand in formula lui f(n)(.) dam de monotonia lui f(n),
functie strict descrescatoare de la f(n)(0) = 1 la f(n)(1) = 2-n < 0,
functie strict crescatoare de la f(n)(1) = 2-n la f(n)(oo) = oo > 0.

Pentru cei mai exacti se poate lua in loc de infinitul oo
numarul ?? = n la puterea ?,
astfel incat pentru aceasta putere sa avem f(n)(??) = 1, ecuatie usor de rezolvat.

Deja cei ce au vazut acest lucru, isi pot imagina in ce subinterval bun al lui (1,oo) se afla "cealalta" solutie pozitiva, si cu un mic cleste se vede unde tinde aceasta solutie.

Nu vreau sa rezolv de aceea problema, dar dau o indicatie cu computerul:
pentru n de la 3 la 10... (Cod sage...)


sage: R.<x> = ZZ[]
sage: R
Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ring
sage: x
x
sage: for n in range(3,10):^J print "n=%4d :: radacini in IR pentru f(n) : %s" % ( n, (x^n -n*x+1).real_roots() )
....:
n= 3 :: radacini in IR pentru f(n) : [-1.87938524157182, 0.347296355333861, 1.53208888623796]
n= 4 :: radacini in IR pentru f(n) : [0.250992157490491, 1.49335855656019]
n= 5 :: radacini in IR pentru f(n) : [-1.54165168410452, 0.200064102629975, 1.44050039734156]
n= 6 :: radacini in IR pentru f(n) : [0.166670239371229, 1.39501468751104]
n= 7 :: radacini in IR pentru f(n) : [-1.40558140124149, 0.142857316325143, 1.35769543936265]
n= 8 :: radacini in IR pentru f(n) : [0.125000007450584, 1.32701199518889]
n= 9 :: radacini in IR pentru f(n) : [-1.32934620590385, 0.111111111397908, 1.30147491716012]


sage: for n in range(100,110):^J print "n=%4d :: radacini in IR pentru f(n) : %s" % ( n, (x^n -n*x+1).real_roots() )
....:
n= 100 :: radacini in IR pentru f(n) : [0.0100000000000000, 1.04751425253896]
n= 101 :: radacini in IR pentru f(n) : [-1.04733128618646, 0.00990099009900990, 1.04713326030587]
n= 102 :: radacini in IR pentru f(n) : [0.00980392156862745, 1.04675891275644]
n= 103 :: radacini in IR pentru f(n) : [-1.04658140474100, 0.00970873786407767, 1.04639103170819]
n= 104 :: radacini in IR pentru f(n) : [0.00961538461538462, 1.04602944540358]
n= 105 :: radacini in IR pentru f(n) : [-1.04585714361378, 0.00952380952380952, 1.04567398822001]
n= 106 :: radacini in IR pentru f(n) : [0.00943396226415094, 1.04532450039537]
n= 107 :: radacini in IR pentru f(n) : [-1.04515716834648, 0.00934579439252336, 1.04498082776842]
n= 108 :: radacini in IR pentru f(n) : [0.00925925925925926, 1.04464282153283]
n= 109 :: radacini in IR pentru f(n) : [-1.04448023716183, 0.00917431192660551, 1.04431033800423]
sage: 1./101.
0.00990099009900990
sage: 1./103.
0.00970873786407767

Bun, mai departe sa incercam cu un program mic ce stie sa calculeze astfel de lucruri repede... gp/pari (care poate fi accesat si din sage, dar tiparesc cod gp direct, pentru a nu obosi ochii cititorilor).


? \p 200
realprecision = 202 significant digits (200 digits displayed)
? N = 10; solve( x=1/N, 2/N , x^N-N*x+1 )
%7 =
0.
10000000001000000001 00000000145000000247
00000046060000091025 20018730855039708955
08612835734022318126 63421520943348242067
05602801680287721436 16609036146923947252
36896316500718010741 12086998022932806203
? \p 500
realprecision = 500 significant digits
? N = 100; solve( x=1/N, 2/N, x^N-N*x+1 )
%8 = 0.
01000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000
00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000
00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000
00000000000000000000 01000000000000000000 00000000000000000000
00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000
00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000
00000000000000000000 00000000000000000001 00000000000000000000
00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000
00000000000000000000 0

(Destul de tarziu dam de un 1495 inconjurat de zerouri in cele de mai sus... Cam pe unde? Iata un mod simplu de a vedea cand a inceput domnia lui Radu cel Mare...)
Am grupat cu mana cum am putut..

In ce interval -ghicit experimental- cat de cat strans se afla deci a(n)?
(Limita lui a(n) devine desigur o problema neinteresanta deja...)

E greu de demonstrat incadrarea lui a(n) intr-un interval de forma
( 1/n , 1/n+mamarutza ) ?

si modelul continua cu termeni ce vin de form
"polinom de grad k-2 in N inmultit cu N^(-kN)"...

La un punct anterior , ne cerea sa demonstram ca

este descrescatoare pe

si crescatoare pe

.

Considerand adevarate afirmatiile de mai sus , si remarcand faptul ca functia este continua , nu rezulta ca are solutiile cerute la punctul b) ?

Dar nu inteleg ultima descompunere , cea precizata la punctul c) .
Acel

. Pur si simplu nu vad de unde ati scos-o .

[Citat] La un punct anterior, ne cerea sa demonstram ca este descrescatoare pe si crescatoare pe . Considerand adevarate afirmatiile de mai sus, si remarcand faptul ca functia este continua, nu rezulta ca are solutiile cerute la punctul (b) ?

Nu stiu care este punctul (b), dar daca cele de mai sus sunt cunoscute, rezulta imediat existenta (Rolle, pentru topologistii puristi pastrarea conexitatii) si unicitatea (monotonia functiei pe [0,1] si [1,oo) radacinilor
a(n) in [0,1] si
b(n) in [1,oo) .

Bun, eu am scris cateva nebunii, dar sa rezolvam pentru inceput problema, dupa aceea mai vedem ce se poate demonstra din nebunii.
(Ma adresez aici unui public variat, incepand cu cel de clasa a IX-a poate, terminand cu cel de facultate si dupa... Incerc de asemenea sa fac pledoarie pentru partea experimentala din matematica, cunoasterea matematica avand un calculator bun la indemana.)

Undeva in cele de mai sus sunt cateva randuri de cod.
Tot asa cum eu nu citesc din ziar decat cateva pagini, accept ca cititorii de pe forum sa nu citeasca liniile criptice de cod. Dar solutiile/rezultatele macar...

Fie n > 2 fixat.
Bun, sa incercam sa demonstram ca a(n) este cuprins intre 1/n si 2/n mai intai.
Pentru aceasta calculam si minoram/majoram:

Incadrarea lui a(n) de mai sus intre 1/n si 2/n este acum clara din aceeasi monotonie a lui f(n). Criteriul clestelui sau al sandwichtului - depinzand de hobby - ne asigura ca a(n) are limita zero, deoarece sirurile ( 1/n ) si ( 2/n ) converg la zero.

Problema poate fi insa un bun punct de inceput pentru investigatii mai exacte.
Matematicienii numesca acest tip de cautare "rafinarea asimptoticii" convergentei. Se incearca o incadrare (cat mai buna -adica-) intre doua siruri cat mai apropiate.

Sper ca suntem de acord ca pentru N maricel, intre 1/N si

nu ramane loc prea mult. (Am mai trunchiat din asimptotica mai exacta de mai sus, ca sa ramana in clasa a XI-a.) Principala problema a matematicii din secolul nostru este poate faptul ca a ajuns atat de departe, incat ea este fie deja fumata, fie nu poate fi palpata. De aceea am dat in codul de mai sus valoarea "exacta" pentru a(10?). Cel tarziu acolo poate poate fi inteleasa mai usor notiunea de asimptotica. Bun. Sa aratam atunci ca
a(n)
este facut cleste / sandwich
de 1/n si c(n)-ul definit mai sus.
Ajunge sa aratam ca functia in cauza, evaluata in c(n) -in loc de 2/n- ia de asemenea valori negative. Sa vedem...

pentru n suficient de mare cel putin,
pentru ca prima bucata este "foarte aproape" de
1 . (1+1+...+1) = n
si scadem 2n. (In asimptotica pe care am proclamat-o mai sus, era n acolo unde dam noi acum de 2n.)
Modul simplu de a argumenta este

impartirea fortata cu n,

obtinem ceva de forma (1+putin)(...)/n -2 si avem de aratat ca acel
(...)/n converge la 1. Nu intru in detalii.

Cursiv incerc acum sa descriu cum se poate face rost de asimptotica mai exacta de mai sus...

Ecuatia data trebuie rescrisa, substituim nx=y, si comparam

Este "clar" ca pentru epsilon tinzand la zero, radacina ce provine din a(n) tinde la unu.
Din pacate insa, n si epsilon sunt cuplati, asa ca trebuie sa fiu mai atent in ceea ce afirm.
Dar este un lucru bun sa gandim asa problema.
In cele ce urmeaza o sa decuplez in notatie epsilonul de n, mai iau o litera, xi, in loc de epsilon.

Pentru cei din liceu urmeaza acum o dogma.
Fixam o data pentru o lunga vreme un n "mare" (de exemplu mai mare ca 100).
Daca consideram functia suficient de bine derivabila ("smooth" - chiar analitica)
definita intr-o vecinatate a lui (0,1) in IR patrat

atunci teorema functiei implicite din facultate asigura existenta unei functii explicite Y(xi), derivabila suficient de bine cu proprietatea ca rezolva ecuatia implicita

Am terminat dogma. Ne aflam din nou in clasa a IX-a. Avem deci:

Tema de casa:
Derivand de cateva ori dupa xi sa se calculeze primele cateva derivate ale lui Y in 0.
O sa revin...

Intr-un final , am reusit cu minimul de cunostinte pe care il am , sa rezolv problema.
Am facut tabelul in care am pus valorile lui x , prima derivata a functiei , si functia in sine. Am descoperit usor monotonia . Facand limitele in punctele de extrem (

si

) si utilizand teorema lui Rolle (parca) am dedus ca sunt exact doua solutii , in intervalele cerute.
Chiar si ultimul punct , in care se cerea limita lui

a fost usoara , prin faptul ca am admis ca ,

Sper ca s-a inteles ceva din ambiguitatea rezolvarii mele .

[Citat] ...ultimul punct, in care se cerea limita lui a fost usor, prin faptul ca am admis ca ,

Demonstratia faptului ca a(n) se afla in acest interval trebuie facuta, ea se bazeaza pe monotonia functiei in cauza pe [0,1] si pe stabilirea semnelor
f( 1/n ) > 0 si
f( 2/n ) < 0 .

Aceste lucruri se demonstreaza relativ usor ca in primele randuri din postul de mai sus...