Numerele naturale

in aceasta ordine, sunt termeni ai unei proportii. Aflati numerele

.

Cer scuze, nu inteleg enuntul, faptul ca A,B,C,D sunt "termenii unei proportii" (in aceasta ordine) inseamna (echivalent) ca avem relatia
A:B = C:D ?!

da!

[Citat] Numerele naturale in aceasta ordine, sunt termeni ai unei proportii. Aflati numerele .

Explicit:

Fie x,y doua numere naturale cu proprietatea ca

(xx-yy) . (x,y) = 5 xy .

Notam cu d = (x,y) cmmdc al numerelor x,y. Atunci dam de u,v prime intre ele cu
x = du ,
y = dv .
Ecuatia data se rescrie:
dd (uu-vv) . d = 5 dd uv , echivalent
(uu-vv) . d = 5 uv .
Deoarece u divide doi dintre cei trei termeni din ecuatie, il divide si pe al treilea, vv d, deci u divide d (fiind prim cu v).
Analog v divide d.
Cei doi divizori u,v ai lui d sunt primi intre ei.
Deci exista w natural cu

d = uvw .

Inlocuind, pulberea de pe partea dreapta se simplifica, dam de ecuatia echivalenta

(uu-vv) . uvw = 5 uv , de unde echivalent
(u-v) (u+v) . w = 5 .

Desigur ca u>v. Singurii divizori naturali ai lui 5 sunt 1 si 5.
Deci (u-v) este 1, fiind strict mai mic decat u+v, strict deoarece v=0 se exclude .
Deci (u+v) = 5, w = 1 .
Suntem condusi la u = (5+1)/2 = 3, v = (5-1)/2 = 2, d = uvw = 6, x = du = 18, v = dv = 12.