Am o curiozitate... de ce se mai poate vorbi despre conceptul de mul?ime, atunci când aceasta con?ine un sigur element ? Adic?, care este defini?ia unei mul?imi, ?i de ce poate ea exista atunci când e monopopulat? ? În logica mea, o mul?ime este format? dintr-un GRUP de elemente care constituie un întreg. Poate un singur element constitui un grup ?!

Îmi dau seama c? întrebarea este vag?, dar sunt confuz în ceea ce prive?te topicul acesta.

Cred c? e destul de greu de r?spuns la o a?a întrebare. Mai întîi, probabil c? ?ti?i cît de greu este de definit o mul?ime. M? refer ?i la tentativele de-a lungul istoriei ?i chiar la ultimul sistem axiomatic (ZFC = Zermelo-Fraenkel-Choice Axiom), care, din cîte ?tiu, înc? este privit cu scepticism de unii matematicieni. Asta pentru c? înc? permite indecidabilit??i sau propozi?ii care, fie c? sînt luate ca adev?rate, fie c? sunt luate ca false, tot nu interac?ioneaz? cu sistemul. Lua?i ca exemplu ipoteza continuului. Dar na, poate asta e vina sau meritul lui Godel, cum vre?i s? o interpreta?i.

Am scris cele de mai sus pentru a-mi sus?ine p?rerea c? asemenea întreb?ri (oarecum fundamentale - adic? despre funda?ii) despre teoria mul?imilor nu sînt u?or de r?spuns sau cel pu?in de dat un r?spuns absolut mul?umitor.

Acum, mai la obiect...Mul?imea format? dintr-un element este o mul?ime, din mai multe motive, dup? p?rerea mea.

Unul ar fi c? este un caz 'extrem', s? zicem, a?a cum mul?imea vid? este o mul?ime sau a?a cum accept?m faptul c? mul?imea vid? are cam orice propriet??i ne trebuie ?i tot cam nici una, depinde de context (un exemplu scurt: este ?i o mul?ime deschis?, ?i închis?).

Alt motiv ar fi tot de teoria mul?imilor, de exemplu, din ce am citit eu cîndva, pe scurt, 'mul?imi?tii' deosebesc 1 de {1} ?i de {{1}}, în primul caz fiind un num?r, în al doilea ?i al treilea de o mul?ime cu un element, doar c? diferite între ele. Prin natura lor, a doua este o mul?ime cu un num?r, a treia este o mul?ime cu o mul?ime (un coleg are un telefon vechi de zece ani, altul un smartphone, s? zicem, dar nu vreau s? spun c? unul e mai tare decît cel?lalt, doar difer? în natur?).

În fine, pledoaria mea este c? mul?imea cu un element exist?, luat? ca mul?ime. Iar elementul însu?i e un element, concept total diferit, de exemplu dup? cum se vede în cele trei cazuri de mai sus.

Sper c? am fost m?car pu?in de ajutor.

P.S. Chiar ?i în limbajul comun putem vorbi despre un grup (în sensul de adunare sau adun?tur?, dac? vre?i, nu de structur? algebric? neap?rat) care are doar un element.