1. Determinati numerele naturale x , y , z stiind ca intre multimile{x + y ; y+z ; z+x} si {20 , 15 ,12} exista o proportionalitate inversa si ca x^2 * y^3 * z =559872
2. Aflati cele mai mici numere naturale proportionale cu : 16/3 ; 15/4 ; 11/7

[Citat] 1. Determinati numerele reale x , y , z >0 stiind ca intre "listele" < x+y ; y+z ; z+x > si < 20 , 15 ,12 > exista o proportionalitate inversa si ca .

Cautam deci x,y,z ce satisfac

20(x+y) = 15(y+z) = 12(z+x) = 20.15.12 K

pentru un K convenabil,
impreuna cu o a treia ecuatie, care il va determina pe K...

(Putem lucra fara acest K, deci scriem un sistem, pe care-l rezolvam, ceea ce ar fi modul normal de abordare.)
Rezulta
x+y = 15.12 K
y+z = 20.12 K
z+x = 20.15 K

de aici
x+y+z = (15.12 + 20.12 + 20.15)/2 K = 720/2 K = 360 K ,
z = (360 - 15.12) K = 180 K
x = (360 - 20.12) K = 120 K
y = (360 - 20.15) K = 60 K .

Nu ne place alegerea lui K. Calcule cu numere prea mari.
Inlocuim desigur 60 K cu A, avem deci z = 3A, x = 2A, y = A, de unde

De aici A = 2.3 = 6, de unde x=2A=12, y=A=6 si z=3A=18.

Cu calculatorul (sage) obtinem in acelasi sens toate solutiile complexe:

var( 'x,y,z' )
eq1 = ( 20*(x+y) == 15*(y+z) )
eq2 = ( 15*(y+z) == 12*(z+x) )
eq3 = ( x^2 * y^3 * z == 559872 )
solutii = solve( [eq1,eq2,eq3] , x,y,z, solution_dict=True )
for solutie in solutii: print solutie


{z: 18, y: 6, x: 12}
{z: -18, y: -6, x: -12}
{z: -8748/(243*I*sqrt(3) - 243), y: 3*I*sqrt(3) + 3, x: 6*I*sqrt(3) + 6}
{z: 8748/(243*I*sqrt(3) + 243), y: -3*I*sqrt(3) + 3, x: -6*I*sqrt(3) + 6}
{z: -8748/(243*I*sqrt(3) + 243), y: 3*I*sqrt(3) - 3, x: 6*I*sqrt(3) - 6}
{z: 8748/(243*I*sqrt(3) - 243), y: -3*I*sqrt(3) - 3, x: -6*I*sqrt(3) - 6}

[Citat] 2. Aflati cele mai mici numere naturale proportionale cu : 16/3 ; 15/4 ; 11/7

Scriem relatia de proportionalitate:

Deoarece x,y,z sunt din IN, numaratorul p al lui r se divide cu 3,4,7, deci cu cmmmc(3,4,7) = 3.4.7 .
Deoarece x,y,z sunt din IN, numitorul q al lui r divide pe 16, pe 15 si pe 11, deci cu cmmdc(16,15,11) = 1 .
Deci r=3.4.7.s cu s natural, pentru a da de x,y,z numere naturale,
x = 16.4.7.s
y = 15.3.7.s
z = 11.3.4.s

Daca dam sensul natural pentru "cele mai mici trei numere naturale", atunci trebuie sa-l luam pe s=1...

[Citat] 1. Determinati numerele naturale x , y , z stiind ca intre multimile{x + y ; y+z ; z+x} si {20 , 15 ,12} exista o proportionalitate inversa si ca x^2 * y^3 * z =559872 2. Aflati cele mai mici numere naturale proportionale cu : 16/3 ; 15/4 ; 11/7

O alta varianta de solutie:

In acest sir de rapoarte egale inmultim numitorii cu 60,apoi facem suma numaratorilor pe suma numitorilor,apoi diferenta a doi numaratori pe diferenta numitorilor corespunzatori si obtinem urmatorul sir de rapoarte egale :

Avem

A doua conditie devine :

, adica

deci

.
Prin urmare