|
|
|
|
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
|
|
 |
|
 |
[1]
| Autor |
Mesaj |
|
|
Un ceas mecanic avea geamul spart. La orele 12:00:00 trei mu?te s-au a?ezat pe câte un segment reprezentat de acul orar, minutar, respectiv secundar al ceasului ?i au r?mas a?ezate pe ele la aceea?i distan?? diferit? de zero, de centrul discului determinat de cadranul ceasului. Când pozi?iile oric?ror dou? ace indicatoare coincideau, cele 2 mu?te a?ezate pe ele treceau una în locul celeilalte. În cazul în care coincideau pozi?iile la toate cele 3 ace indicatoare, doar mu?tele de pe acul orar ?i cel secundar î?i schimbau locul.
Câte rota?ii complete de forma unui cerc imaginar generat de mi?carea acului pe care se afla , a efectuat fiecare musc? pân? la ora 24:00:00?
---
Anamaria
|
|
|
Foarte interesant faptul c? problema a r?mas neatins?. Din p?cate, nici eu nu-i fac ceva, sau cel pu?in nu ceva semnificativ.
Vreau s? o compar cu urm?toarea:
Fie 100 de furnici pe un b?? de 1m, aranjate aleator. ?tiind c? furnicile sînt identice ?i atunci cînd se întîlnesc 2, 'rico?eaz?', adic? fiecare face stînga-mprejur ?i merge mai departe ?i de asemenea c? viteza fiec?rei furnici este de 1m/min, dup? cît timp au c?zut toate furnicile de pe b??? (Bineîn?eles, cînd o furnic? ajunge la cap?t, merge mai departe ?i cade.) R?spuns
1 minut, deoarece furnicile sînt identice, iar coliziunea lor poate fi interpretat? ca ?i cum una a trecut prin alta ?i-?i vede de drum.
Acestea fiind spuse, înclin s? cred c? mu?tele au f?cut 1+12+720 rota?ii complete. Dar care, cîte, nu ?tiu.
Poate am ajutat. Sau poate am gre?it. Oricum, problema îmi place, de aceea am postat 
|
|
|
Pentru a putea sa scriu ceva despre solutie, trebuie sa reformulez...
La ora 12:00:00 (plus epsilon) trei fluturi
O, un ochi de p?un de zi (vanessa io),
M, un matinal (fluturele matinal),
S, Scolitantides orion, un fluture foarte p?tat,
s--au a?ezat respectiv pe câte un segment reprezentând
acul orar, minutar, respectiv secundar al unui ceas mare de camer? plasat într--o ser? luminat? ultraviolet,
într--un ambient cu crini, lalele ?i floarea soarelui.
Ei au r?mas a?eza?i pe limbile de ceas mereu la o aceea?i distan?? 1 (unitate),
de centrul discului determinat de cadranul ceasului.
Când pozi?iile oric?ror dou? ace indicatoare coincideau, cei 2 fluturi a?eza?i pe ele î?i schimbau locurile.
(1) Este posibil ca pana la ora 24:00:00 (minus epsilon)
toate cele 3 ace indicatoare s? se suprapun??
(2) Câte rota?ii complete de forma unui cerc imaginar generat de mi?carea acului (mereu schimb?tor)
pe care se afl? fiecare fluture, a efectuat fiecare dintre ei pân? la ora 24:00:00 (minus epsilon) ?
Introducem trei func?ii o,m,s : (0,1) -> [0,1) date de
unde dac? vrem s? avem continuitate e bine s? vedem mul?imea [0,1) ca fiind IR / ZZ cu topologia câtului de pe IR, dar acest lucru nu este a?a de important.
Este clar c? model?m cu t timpul, el parcurge de la 0 la 1 unitatea de o jum?tate de zi
care corespunde unei rota?ii complete a orarului.
Func?ia o se scrie desigur mai simplu, o(t)=t,
parte frac?ionar? {t} a lui t din [0,1) fiind t.
Func?ia o arat? pozi?ia orarului, în t acesta arat? spre o(t) radiani.
Func?ia m arat? pozi?ia minutarului, în t acesta arat? spre m(t) radiani.
Func?ia s arat? pozi?ia secundarului, în t acesta arat? spre s(t) radiani.
(1) Pentru a vedea când dou? ace se afl? pe aceea?i pozi?ie, avem de rezolvat pe (0,1)
câte una din urmatoarele ecua?ii:
Pentru O ?i M: c?ut?m t cu o(t)=m(t), i.e. t={12 t}, i.e.
12t-t in ZZ, i.e. 11t in ZZ, i.e.
Pentru O ?i S: c?ut?m t cu o(t)=s(t), i.e. t={12.60 t}, i.e.
Pentru M ?i S: c?ut?m t cu m(t)=s(t), i.e. {12 t}={12.60t}, i.e.
12(60t-t) in ZZ, i.e. 12.59 t in ZZ, i.e.
Deoarece nici una din frac?iile de mai sus cu numitor 11, respectiv 719, nu se simplific?
pentru valorile corespunzatoare mai sus, rezulta ca nu exist? o coinciden?? de suprapunere
a celor trei limbi.
(2) A?ez?m pe o ax? toate cele 10+718+707 puncte de suprapunere.
Trebuie s? facem cumva ordine în haos.
Fiec?rui punct de suprapunere îi asociem o permutare a literelor O,M,S.
Dup? fiecare salt trebuie s? contabiliz?m unde se afl? fiecare din fluturi ?i ce distan?? a parcurs pân? la momentul respectiv.
Cred c? cel mai bun lucru este s? scriem un program.
In orice caz pentru mine.
Colect?m atunci punctele de coinciden?? ca prima component? a unui tuplet,
pe a doua component? plas?m permutarea corespunz?toare.
Deoarece acum program?m, este util s? scriem lucruri care lasa de dedus ce gandim in acelasi timp. Program...
Rulând cele de mai sus ob?inem:
{'Ochi': 244, 'Scolitantides': 245, 'Matinal': 244}
Pentru cei ce vor sa vada cum incepe si se termina calculul... LOG
[0] intervalul = ( 0, 1/719 ) = ( 0.0000, 0.001391 ) :: transpozitia in 1/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Matinal', 'O': 'Ochi'}
Pozitia noua: {'S': 'Ochi', 'M': 'Matinal', 'O': 'Scolitantides'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 1/719, 'Scolitantides': 720/719, 'Matinal': 12/719}
[1] intervalul = ( 1/719, 1/708 ) = ( 0.0014, 0.001412 ) :: transpozitia in 1/708 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Ochi', 'M': 'Matinal', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 1/59, 'Scolitantides': 709/708, 'Matinal': 1/59}
[2] intervalul = ( 1/708, 2/719 ) = ( 0.0014, 0.002782 ) :: transpozitia in 2/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 24/719, 'Scolitantides': 721/719, 'Matinal': 721/719}
[3] intervalul = ( 2/719, 1/354 ) = ( 0.0028, 0.002825 ) :: transpozitia in 1/354 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Pozitia noua: {'S': 'Ochi', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 2/59, 'Scolitantides': 61/59, 'Matinal': 355/354}
[4] intervalul = ( 1/354, 3/719 ) = ( 0.0028, 0.004172 ) :: transpozitia in 3/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Ochi', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Matinal'}
Pozitia noua: {'S': 'Matinal', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Ochi'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 722/719, 'Scolitantides': 755/719, 'Matinal': 722/719}
[5] intervalul = ( 3/719, 1/236 ) = ( 0.0042, 0.004237 ) :: transpozitia in 1/236 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Matinal', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Ochi'}
Pozitia noua: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Matinal', 'O': 'Ochi'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 237/236, 'Scolitantides': 62/59, 'Matinal': 62/59}
[6] intervalul = ( 1/236, 4/719 ) = ( 0.0042, 0.005563 ) :: transpozitia in 4/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Matinal', 'O': 'Ochi'}
Pozitia noua: {'S': 'Ochi', 'M': 'Matinal', 'O': 'Scolitantides'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 723/719, 'Scolitantides': 1442/719, 'Matinal': 767/719}
[7] intervalul = ( 4/719, 1/177 ) = ( 0.0056, 0.005650 ) :: transpozitia in 1/177 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Ochi', 'M': 'Matinal', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 63/59, 'Scolitantides': 355/177, 'Matinal': 63/59}
[8] intervalul = ( 1/177, 5/719 ) = ( 0.0056, 0.006954 ) :: transpozitia in 5/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 779/719, 'Scolitantides': 1443/719, 'Matinal': 1443/719}
[9] intervalul = ( 5/719, 5/708 ) = ( 0.0070, 0.007062 ) :: transpozitia in 5/708 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Pozitia noua: {'S': 'Ochi', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 64/59, 'Scolitantides': 123/59, 'Matinal': 1421/708}
[10] intervalul = ( 5/708, 6/719 ) = ( 0.0071, 0.008345 ) :: transpozitia in 6/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Ochi', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Matinal'}
Pozitia noua: {'S': 'Matinal', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Ochi'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 1444/719, 'Scolitantides': 1510/719, 'Matinal': 1444/719}
[11] intervalul = ( 6/719, 1/118 ) = ( 0.0083, 0.008475 ) :: transpozitia in 1/118 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Matinal', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Ochi'}
Pozitia noua: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Matinal', 'O': 'Ochi'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 237/118, 'Scolitantides': 124/59, 'Matinal': 124/59}
[12] intervalul = ( 1/118, 7/719 ) = ( 0.0085, 0.009736 ) :: transpozitia in 7/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Matinal', 'O': 'Ochi'}
Pozitia noua: {'S': 'Ochi', 'M': 'Matinal', 'O': 'Scolitantides'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 1445/719, 'Scolitantides': 2164/719, 'Matinal': 1522/719}
[13] intervalul = ( 7/719, 7/708 ) = ( 0.0097, 0.009887 ) :: transpozitia in 7/708 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Ochi', 'M': 'Matinal', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 125/59, 'Scolitantides': 2131/708, 'Matinal': 125/59}
[14] intervalul = ( 7/708, 8/719 ) = ( 0.0099, 0.011127 ) :: transpozitia in 8/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 1534/719, 'Scolitantides': 2165/719, 'Matinal': 2165/719}
[15] intervalul = ( 8/719, 2/177 ) = ( 0.0111, 0.011299 ) :: transpozitia in 2/177 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Pozitia noua: {'S': 'Ochi', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 126/59, 'Scolitantides': 185/59, 'Matinal': 533/177}
[16] intervalul = ( 2/177, 9/719 ) = ( 0.0113, 0.012517 ) :: transpozitia in 9/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Ochi', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Matinal'}
Pozitia noua: {'S': 'Matinal', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Ochi'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 2166/719, 'Scolitantides': 2265/719, 'Matinal': 2166/719}
......
[1421] intervalul = ( 711/719, 701/708 ) = ( 0.9889, 0.990113 ) :: transpozitia in 701/708 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Ochi', 'M': 'Matinal', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 14271/59, 'Scolitantides': 171329/708, 'Matinal': 14271/59}
[1422] intervalul = ( 701/708, 712/719 ) = ( 0.9901, 0.990264 ) :: transpozitia in 712/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 173914/719, 'Scolitantides': 173991/719, 'Matinal': 173991/719}
[1423] intervalul = ( 712/719, 117/118 ) = ( 0.9903, 0.991525 ) :: transpozitia in 117/118 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Pozitia noua: {'S': 'Ochi', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 14272/59, 'Scolitantides': 14331/59, 'Matinal': 28555/118}
[1424] intervalul = ( 117/118, 713/719 ) = ( 0.9915, 0.991655 ) :: transpozitia in 713/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Ochi', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Matinal'}
Pozitia noua: {'S': 'Matinal', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Ochi'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 173992/719, 'Scolitantides': 174645/719, 'Matinal': 173992/719}
[1425] intervalul = ( 713/719, 703/708 ) = ( 0.9917, 0.992938 ) :: transpozitia in 703/708 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Matinal', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Ochi'}
Pozitia noua: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Matinal', 'O': 'Ochi'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 171331/708, 'Scolitantides': 14332/59, 'Matinal': 14332/59}
[1426] intervalul = ( 703/708, 714/719 ) = ( 0.9929, 0.993046 ) :: transpozitia in 714/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Matinal', 'O': 'Ochi'}
Pozitia noua: {'S': 'Ochi', 'M': 'Matinal', 'O': 'Scolitantides'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 173993/719, 'Scolitantides': 174712/719, 'Matinal': 174657/719}
[1427] intervalul = ( 714/719, 176/177 ) = ( 0.9930, 0.994350 ) :: transpozitia in 176/177 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Ochi', 'M': 'Matinal', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 14333/59, 'Scolitantides': 43010/177, 'Matinal': 14333/59}
[1428] intervalul = ( 176/177, 715/719 ) = ( 0.9944, 0.994437 ) :: transpozitia in 715/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 174669/719, 'Scolitantides': 174713/719, 'Matinal': 174713/719}
[1429] intervalul = ( 715/719, 235/236 ) = ( 0.9944, 0.995763 ) :: transpozitia in 235/236 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Pozitia noua: {'S': 'Ochi', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 14334/59, 'Scolitantides': 14393/59, 'Matinal': 57347/236}
[1430] intervalul = ( 235/236, 716/719 ) = ( 0.9958, 0.995828 ) :: transpozitia in 716/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Ochi', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Matinal'}
Pozitia noua: {'S': 'Matinal', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Ochi'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 174714/719, 'Scolitantides': 175400/719, 'Matinal': 174714/719}
[1431] intervalul = ( 716/719, 353/354 ) = ( 0.9958, 0.997175 ) :: transpozitia in 353/354 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Matinal', 'M': 'Scolitantides', 'O': 'Ochi'}
Pozitia noua: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Matinal', 'O': 'Ochi'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 86021/354, 'Scolitantides': 14394/59, 'Matinal': 14394/59}
[1432] intervalul = ( 353/354, 717/719 ) = ( 0.9972, 0.997218 ) :: transpozitia in 717/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Matinal', 'O': 'Ochi'}
Pozitia noua: {'S': 'Ochi', 'M': 'Matinal', 'O': 'Scolitantides'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 174715/719, 'Scolitantides': 175434/719, 'Matinal': 175412/719}
[1433] intervalul = ( 717/719, 707/708 ) = ( 0.9972, 0.998588 ) :: transpozitia in 707/708 = {'S': 'M', 'M': 'S', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Ochi', 'M': 'Matinal', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 14395/59, 'Scolitantides': 172751/708, 'Matinal': 14395/59}
[1434] intervalul = ( 707/708, 718/719 ) = ( 0.9986, 0.998609 ) :: transpozitia in 718/719 = {'S': 'O', 'M': 'M', 'O': 'S'}
Pozitia gasita: {'S': 'Matinal', 'M': 'Ochi', 'O': 'Scolitantides'}
Pozitia noua: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 175424/719, 'Scolitantides': 175435/719, 'Matinal': 175435/719}
[1435] intervalul = ( 718/719, 1 ) = ( 0.9986, 1.000000 ) :: transpozitia in 1 = {'S': 'S', 'M': 'M', 'O': 'O'}
Pozitia gasita: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Pozitia noua: {'S': 'Scolitantides', 'M': 'Ochi', 'O': 'Matinal'}
Lungimi parcurse: {'Ochi': 244, 'Scolitantides': 245, 'Matinal': 244}
sage: {'Ochi': 244, 'Scolitantides': 245, 'Matinal': 244}
Analizand punctele intermediare, se vede marsul paralel al lungimilor doua cate doua egale din cand in cand. Deoarece nu am gasit legatura structurala dintre salturile fluturilor si lungimile acumulate pe parcurs si/sau lantul de produse de transpozitii consider ca solutia de mai sus este cat de cat acceptabila...
Dar sunt foarte interesat sa vad ce observatii suplimentare pot conduce la o solutie structurala...
---
df (gauss)
|
|
|
Problema a fost data la concursul "Scoala cu Ceas",Rm. Valcea ,clasa a VIII_a si aprtine lui Marcel Teleuca.In zapaceala generala am uitat sa iau baremele,dar,intre timp (dupa ce am postat problema)acestea au aparut pe http://www.scoalacuceas.ro/matematica/subiectem de unde am adus si eu solutia oficiala:
Imi cer scuze ca nu am avut timp sa o postez mai demult...
---
Anamaria
| [1]
|
Legendă:
|
 Access general
|
 Conţine mesaje necitite
|
47558 membri,
58582 mesaje.
|
|
|
|
 |
|
 |
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ
|
