In cate moduri se pot aranja 6 persoane la o masa de 5 locuri, daca doua persoane nu vor sa stea alaturi?

Cred ca trebuie sa reformulez problema, incat sa nu se creada ca putem roti masa sau ca o persoana sta in poala alteia.

[Citat] In cate moduri se pot plasa 5 din 6 persoane A,B,C,D,E,F la o masa de 5 locuri, daca persoanele A,B nu vor sa stea alaturi (in cazul in care au fost ambele plasate la masa) ? (Doua constelatii de plasare nu se considera identice daca rotind masa sau casa dam de una din cealalta.)

Sper ca aceasta este problema ce trebuie rezolvata.

Prima solutie:
Impartim pe cazuri (pentru usurinta in expunere):

Ambele persoane A,B sunt plasate la masa.
Plasam mai intai A in 5 moduri. Raman 4 scaune, 2 din ele sunt alaturate lui A.
Plasam apoi B in (4-2)=2 moduri, evitand scaunele alaturate.
Raman trei scaune. Le stabilim o ordine.
Pentru primul ramas avem 4 sanse de plasare.
Pentru al doilea ramas avem (cate) 3 sanse de plasare (indiferent de alegerea de mai sus).
Pentru al treilea ramas avem (cate) 2 sanse de plasare (indiferent de alegerile de mai sus).

Deci avem 5.2.4.3.2 posibilitati de plasare.

A ia loc, B ramane pe liber.
Desigur ca sunt 5.4.3.2.1 posibilitati de plasare.

B ia loc, A ramane pe liber.
Desigur ca sunt la fel 5.4.3.2.1 posibilitati de plasare.

Raspunsul este deci

A doua solutie

Daca nu am avea nici o restrictie, atunci ar fi 6.5.4.3.2 posibilitati de plasare (aranjare).

De aici trebuie sa scadem cazurile in care am plasat A si B ca vecini.
Pentru orice astfel de plasare, numerotam locurile ciclic (in sensul acelor de crosetat) la masa cu 1,2,3,4,5 de asa natura incat A sta pe 2. Atunci B sta fie pe 1, fie pe 3. Destul de repede dam de 5.2.4.3.2 cazuri pe care trebuie sa le excludem.
Raspunsul este deci

În situa?ia prezentat? de dumneavoastr? ati considerat masa rotund?. În cazul în care masa e liniar? adic? scaunele sunt dispuse în linie ob?inem 528 de moduri de aranjare conform configuta?iei cerute. Generalirea ar fi interesant?!
Enun?: În câte moduri se pot plasa m persoane ¤A_1,A_2,...A_m¤, la o mas? rotund? de n locuri(m mai mare decât n) , dac? k persoane nu vor sa stea al?turi (k mai mic decât n)).

[Citat] În câte moduri se pot plasa n din m persoane la o mas? rotund? de n locuri (m mai mare decât n), dac? k persoane nu vor sa stea al?turi (k mai mic decât n).

Nu inteleg din pacate enuntul.
Sa luam de exemplu m=n=10 persoane numerotate 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Ce inseamna pentru k=6 ca "6 persoane nu vor sa stea alaturi"?
Ce inseamna pentru k=4 ca "4 persoane nu vor sa stea alaturi"? Care 4 persoane? 0 cu 1 si respectiv 2 cu 3 nu vor sa stea alaturi, deci trebuie sa eliminam doar doua perechi? (Sau cumva dintre 0,1,2 nu vor sa stea oricare doua alturi, iar 3 nu vrea sa stea alaturi de masa... Rog a se preciza daca e vorba de faptul ca oricare doua persoane dintr-un grup fixat de k persoane nu vor sa ia locuri invecinate la masa. Daca da, generalizarea nu este chiar interesanta, iar solutia este un calcul combinatoric care poate fi facut, in cazul in care unul din cei ce citesc pe forum "face munca"...)

Am încercat s? generalizez enun?ul problemei ini?iale dar se pare c? acesta mai trebuie rafinat.

Problema 1
În câte moduri se pot plasa m persoane

, la o mas? rotund? de m locuri, dac? oricare doua persoane nu vor s? ia locuri învecinate la mas? .


Problema 2
În câte moduri se pot plasa m persoane, la o mas? rotund? de n locuri (m mai mare sau egal cu n), dac? oricare k persoane din cele m persoane nu vor s? ia locuri învecinate la mas?

.

[Citat] În câte moduri se pot plasa m persoane , la o mas? rotund? de m locuri, dac? oricare doua persoane nu vor s? ia locuri învecinate la mas? .

E o glum??

Imi cer scuze de eroare, vreau sa se tina banchetul ca n-or fi toti incompatibili intre ei!

Reformulare:
Problema 1
În câte moduri se pot plasa m persoane

, la o mas? rotund? de m locuri, dac? doua persoane nu vor s? ia locuri învecinate la mas? .


Problema 2
În câte moduri se pot plasa m persoane, la o mas? rotund? de n locuri (m mai mare sau egal cu n), dac? k persoane din cele m persoane nu vor s? ia locuri învecinate la mas?

.

Din pacate lucrurile sunt din ce in ce mai neclare.
Sa notam persoanele pentru simplitate cu 1,2, ... , m.

Ce inseamna "daca doua persoane"?
Oricare doua persoane? Sau se fixeaza inainte de a face enuntul cu "doua persoane" persoanele 1,2 sa zicem si se cere ca 1 si 2 sa nu fie alaturi la masa?

Ce inseamna "daca k persoane"?
Oricare k persoane? Sau se fixeaza inainte de a face enuntul cu "k persoane" persoanele 1,2,...,k sa zicem si se cere ca oricare doua dintre aceste k persoane sa nu fie alaturi la masa?

De asemenea, in astfel de cazuri este bine sa stabilim / fixam o data petru totdeauna mai intai numerele m,n,k alaturi de notatia persoanelor, apoi sa punem problema.

Bun, sa zicem ca avem de rezolvat:

Fie numerele k,n,m naturale, in aceasta ordine.
Eventual sunt n si m egale.

Fie m persoane numerotate 1,2,...,m .
Consideram o masa cu n locuri.
Consideram un grup de k persoane dintre cele m, oricare doua certate una cu alta.
Dupa o eventuala renumerotare, putem presupune ca acestea sunt 1,2,...,k.

În câte moduri se pot plasa n dintre cele m persoane la o masa rotund? de n locuri, astfel încat oricare doua din cele k persoane certate sa nu fie plasate alaturi?

Doua moduri de plasare se considera identice (echivalente), daca si numai daca o plasare se obtine din cealalta prin rotatia mesei cu scaune cu tot (i.e. prin actiunea canonica a grupului ciclic generat de ciclul (12..n) ca grup de permutari pe multimea scaunelor).


Problema de combinatorica de mai sus nu este triviala, de aceea o impartim in "probleme mai mici". Pentru a nu duce aici un dialog cu mine, ci cu cel ce a propus problema, si deoarece nu eu trebuie sa inteleg aceasta problema, si deoarece cel ce a propus-o doreste sa o inteleaga, iata cativa pasi intermediari mai simpli, cu rugamintea de a se rezolva mai intai acesti pasi.
Daca apar undeva neclaritati, rog a se formula intrebarea (in mod clar).

Dam locurile 1,2,...,n asezate circular.
Fie k mai mic sau egal cu jumatatea lui n. In cate moduri putem alege o submultime C (a oamenilor certati) a multimii locurilor L = {1,2,...,n} astfel incat oricare doua elemente din C nu sunt circular alaturate?
Sa notam aceasta multime cu Plasari(n,k), iar numarul ei de elemente cu |Plasari(n,k)|.
Indicatie: Problema se reduce la o problema cunoscuta,
daca consideram mai intai ca 1 este ocupat (folosim simetria ciclica pentru a ne aranja la numarat cu asa ceva)
daca in loc sa numaram C-urile, numaram modul de spargeri ale lui n ca suma de numere...
De exemplu, in loc sa ne uitam la alegerea de 4 locuri dintre 1,...,10 ce corespunde locurilor 1,4,7,9,
*--*--*-*-
ne gandim ca spargem 10 drept 3+3+2+2
(adica in lungimi *-- plus *-- plus *- plus *-)
cu bucatile de lungime cel putin 2,
echivalent, spargem (10-4) cu bucati de lungime cel putin 1,
celei de mai sus corespunzandu-i 2+2+1+1 (am luat 1 din fiecare termen),
echivalent, uitandu-ne la sumele intermediare,
2,2+2,2+2+1,2+2+1+1, si mai bine la submultimea lui {1,..,10-4} determinata,
{2,4,5,6} din P( {1,..,(10-4)} ) cu patru elemente.
Astfel de multimi le putem numara usor, dam de Combinari( 10-4, 4 )...

Fie k' mai mic sau egal cu k.
Fie C fixat in Plasari(n,k').
In cate moduri pot fi plasate k' persoane certate pe elementele/sacunele din C, iar pe restul de scaune persoane necertate? Aici omitem simetriile circulare.

Daca introducem mai sus simetriile circulare, cate moduri de plasare avem?

Daca cunoastem toate numerele, |Plasari(n,k')|, care este raspunsul la problema ?