Sa se afle a,b,c,d,e,f care apartin lui

astfel incat

Prima idee a fost sa inmultesc cu 1-e, considerand a=b=c=d=e=f. Dar atunci nu ar fi reale. Multumesc.

Problema e din manualul de Burtea, fiind un caz particular al unei probleme propusa la faza finala a olimpiadei de matematica, clasa a 10-a, in 1987.

In enuntul original se considera un numar prim p in loc de 7 si se cere determinarea respectivilor coeficienti in multimea numerelor rationale, nu reale.

Va multumesc mult.

O nota foarte marginala. Este bine de stiut ca exista programe computerizate de matematica / sisteme algebrice, care rezolva aceasta problema. Eu folosesc sage (pe o masina linux):


sage: K.<z> = NumberField( x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 )
sage: 1/(1-z)
1/7*z^5 + 2/7*z^4 + 3/7*z^3 + 4/7*z^2 + 5/7*z + 6/7
sage: K
Number Field in z with defining polynomial x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
sage: z^7
1
sage: 1 / ( 1 - 71*z + 6*z^2 )
1961614505/140930039461*z^5
+ 1989267954/140930039461*z^4
+ 1989564683/140930039461*z^3
+ 1988467068/140930039461*z^2
+ 1975429169/140930039461*z
+ 1821330300/140930039461
sage: ( 1 - 71*z + 6*z^2 ).norm()
140930039461
sage: (1-z).norm()
7
sage: prod( [ 1-z^k for k in [1,2,3,4,5,6] ] )
7
sage: prod( [ 1 - 71*z^k + 6*z^(2*k) for k in [1,2,3,4,5,6] ] )
140930039461


Am incercat sa arat la ce e bun un fier de calculat si de ce notiunea de norma este o notiune importanta in astfel de cazuri. (Definitia normei involva considerarea tuturor "conjugatelor Galois". Conjugatele lui 1-z de mai sus, z este epsilon-ul din problema sunt de forma 1-z^k cu k intre 1,2,3,4,5,6.)

Cu ocazia acestui exercitiu si datorita catorva dintre posturile dumneavoastra, am hotarat sa incerc acest sage. Am instalat ubuntu pe o "masina virtuala", dar neavand experienta, nu m-am descurcat cu el. Daca mi-ati putea recomanda un tutorial bun pentru sage as fi recunoscator.

Daca este vorba de instalat sage, cred ca cel mai simplu este de alocat pentru inceput loc pe un stick (4GB ar trebui sa ajunga) pentru un linux, recomand folosirea lui
http://unetbootin.sourceforge.net/
(unetbootin este Universal Net Boot Installer) pentru a pune un linux sau altul pe acest stick. Pe 4GB intra foarte bine de exemplu un Linux Mint XFCE
(bazat pe unbuntu, in principiu XUbuntu sau ceva asemanator este la fel de util, dar e o chestie de gust doar)
iar acest XFCE (Desktop management) nu face abuz de resurse grafice.
Sa zicem ca avem linux pe un stick.
Dam jos ultimul sage de pe pagina
http://www.sagemath.org/download-linux.html
(si apoi de pe unul din link-uri, de exemplu de pe
ftp://ftp.fu-berlin.de/unix/misc/sage/linux/32bit/index.html
daca masina de baza e una de 32bit. )

Instalarea este simpla, pe linux se instaleaza programele corespunzatoare de despachetat, se despacheteaza totul intr-un fisier, de exemplu la mine in


dan@ardeal ~/sage-4.3.1/sage-4.3.1-Ubuntu9.10-N270-i686-Linux $ ll sage
-rwxr-xr-x 1 dan dan 1449 2010-01-14 04:43 sage


iar lansarea programului (pentru prima oara si apoi) se face tiparind sage pe linia de comanda. Daca sunt intrebari, putem deschide pe acest forum o tema noua si tiparim pana lucrurile stau bine.

Este bine de stiut, ca pe Freenode
(canal de chat-uit pe net, a se instala xchat de exemplu, de aici Freenode ar trebui sa fie deja in lista)
exista oameni pe canalul #sage sau #sage-devel care raspund la orice ora din (zi si din) noapte la intrebari simple sau complicate. Comunitatea e mica, dar bine counturata. (Eu nu fac parte din ea, folosesc doar sage-ul.)

Si acum la intrebarea propriu-zisa,
o carte de inceput pe care as recomanda-o eu pentru gustul meu este:
http://cannelle.lateralis.org/sagebook-1.0.pdf
De asemenea, multe ramificatii pleaca din
http://www.sagemath.org/help.html#SageStandardDoc
Incerc sa scriu si eu un fel de manual, care in acelasi timp sa acopere matematica si partea computerizata, dar mai dureaza... (Timpul liber e din ce in ce mai putin.)

Multumesc. M-am descurcat cu instalarea programului sage. Tutorialele pentru folosirea lui ma interesau. Multumesc mult inca o data.