1) sa se determine axa de simetrie a graficului functiei:
f:R->R f(x)=sqrt(|3x-6|)

2) Sa se arate ca punctul indicat este centru de simetripentru graficul functiei:
P(2,2) F:R->R f(x)=(2x+1)/(x-2)

3) Fie f:R->R f(x)={x}*(2-{x})
Aflati perioada principala a functiei;

4) Demonstrati ca f:R->R f(x+1)=1/(1-f(x)) este periodica

[Citat] (1) Sa se determine axa de simetrie a graficului functiei: f:IR -> IR, f(x)=sqrt(|3x-6|)

Scriem |3x-6| = |3(x-2)| = 3|x-2|.
E clar ca functia data ia valori egale pentru puncte x egal departate de acest 2, de exemplu deoarece |x-2| este distanta de la x la 2.
Exemple de perechi de puncte egal departate de 2 sunt
1 si 3
0 si 4
-1 si 5 ...

Axa de simetrie este una verticala, ecuatia ei este x=2.

[Citat] (2) Sa se arate ca punctul indicat este centru de simetrie pentru graficul functiei: P(2,2) f: IR -> IR, f(x)=(2x+1)/(x-2)

Fals (mai exact, ipoteza nu are sens), functia data nu este definita in 2. Dar 2
este in domeniul de definitie.

Daca luam insa functia
g: IR-{2} -> IR, g(x)=(2x+1)/(x-2) = (2(x-2)+3) / (x-2) = 2 + 3/(x-2)
putem sa ne intrebam daca punctele
( 2+x, g(2+x) ) si
( 2-x, g(2-x) )
x nenul,
de pe graficul lui g sunt simetrice fata de punctul (2,2).
Abscisele 2+x si 2-x le-am luat eu sa fie simetrice fata de primul 2 din (2,2).
Ce se poate spune despre ordonate?

[Citat] (3) Fie f:IR->IR, f(x)={x}(2-{x}) unde {x} este partea fractionara a numarului real x. Aflati perioada principala a functiei.

Desigur ca 1 este o perioada a lui f.
Ajunge deci sa studiem comportarea functiei f pe un interval de lungime 1, de exemplu pe [0,1).
Pe acest interval avem f(x) = x(2-x), x in [0,1), o functie strict crescatoare.
Deci perioada principala este chiar 1.

[Citat] (4) Demonstrati ca o functie f:IR -> IR-{0,1} cu proprietatea ca f(x+1) = 1/(1-f(x)) pentru orice x real este periodica.

Calculam:
f(x+2)
= 1/( 1-f(x+1) )
= 1/( 1- 1/(1-f(x)) )
= 1/( -f(x)/(1-f(x)) )
= (f(x)-1) / f(x)
= 1 - 1/f(x)

f(x+3)
= 1 - 1/f(x+1)
= 1 - (1-f(x))
= f(x) .