[Citat]
Datorita faptului ca sunt doar in clasa a X-a, nu inteleg mare parte din rezolvare. |
Bun, am o informatie in plus. (Problema nu arata a fi una de clasa a X-a, asadar m-am intrecut rau cu aprecierea si gluma.) Solutia era de fapt data in randurile cu verde de mai sus. Am incercat sa o rescriu incat sa apara in "cercul natural de idei".
Sa vedem cum ar sta lucrurile la nivel de cunostinte ce presupun doar cunoasterea functiilor radical si "2 la puterea", precum si a monotoniei lor.
Am introdus mai sus functia g.
Nu este decat un ajutor pentru a (re)forumla propozitii.
Sistemul dat se rescrie:
x = g(y) si
y = g(x).
Aici eu am inventat un a = (logaritm in baza 2 din 5) (cea mai mare extrema pentru care unele expresii au sens), dar cum se vede usor , puteam sa iau 2 in loc de acest a. (Daca x este in [0,a], atunci y e in [0,2], deci x e in [0,2]...)
Ne uitam la monotonia functiei g si la modul in care "muta" intervalele [0,1) si (1,2] unul in altul.
Observam mai intai ca g este strict descrescatoare ca o "compunere" de functii monotone...
x -> 2^x e strict crescatoare,
x -> 2^x-1 e strict crescatoare,
x -> radical( 2^x-1 ) e strict crescatoare, (compunere de doua functii strict crescatoare),
x -> 2-radical( 2^x-1 ) e strict crescatoare, (compunere de functia strict descrescatoare y -> 2-y cu cea strict crescatoare de mai sus).
Apoi
g(0) = 2-sqrt(1-1)=2-0=1-2
g(1) = 2-sqrt(2-1)=2-1=1
g(2) = 2-sqrt(4-2)=2-sqrt(2)=b<1 (si desigur b>0).
Bun. Ce avem?
[0,1) se duce prin g in (imaginea) (1,2] . Capetele merg in capete.
(1,2] se duce prin g in (imaginea) [b,1) . Capetele merg in capete.
dar in al doilea rand "ne departam ceva de 0".
Ce face compunerea (gog) ?
Duce [0,1) in [b,1) si
duce (1,2] in (1,b'] unde b'=g(b),g(0)=2 .
Este clar ca pentru a rezolva ecuatia data, ajunge sa cautam solutii pentru g(g(x)) = x . Desigur ca x=1 este o solutie.
Pentru referinta mai usoara, sa notam functia compunere (gog) cu h,
h : [0,2] -> [b,b'], h(x)=g(g(x)) .
Prima incercare de solutie (elementara):
La nivel de a XI-a ni se da o definitie riguroasa a notiunii de continuitate. Trece o vreme si se demonstreaza sau dogmatizeaza o teorema importanta, care spune intuitiv ca graficul unei functii continue "nu arata ca un fir rupt".
Functia noastra h este o astfel de functie continua, iar functia ajutatoare
k:[0,2] -> IR, k(x) = x-h(x)
este de asemenea continua, graficul ei "incepe" in
A = ( 0, k(0) ) = ( 0, -b ) care este "strict sub axa Ox"
si se "termina" in
Z = ( 2, k(2) ) = ( 2, 2-b') care este "strict peste axa Ox".
Faptul ca nu "se rupe ata graficului lui k", spune ca graficul lui k "taie" axa Ox. Deci avem un punct p cu k(p)=0, i.e. h(p)=p, i.e. g(g(p))=p .
Nu este o nouate, stiam de mult ca exista un astfel de punct.
Problema este daca mai exista si altul.
In definitiv, graficul lui k se poate "zvarcoli" de cateva ori in sus si-n jos fata de axa Ox. Dar atunci, aceste zvarcoleli ar arata ca graficul lui x -> h(x) taie de cateva ori pe cel al lui x -> x (al primei bisectoare).
Hm, trebuie sa demonstram ca acest lucru nu are loc.
Incerca sa fac o poza, desi nu pot introduce aici grafice prea usor...
Iata graficul lui h cu prima bisectoare cu tot pe aceeasi hartie cu patratele...
Intr-adevar, nu apar nici un fel de "vanzoleli" intre cele doua grafice...
Cum argumentam corect?
La nivel de a XI-a se poate studia in mod standard monotonia.
Derivata are sensul "pantei", iar pe desen se vede clar cum stau pantele graficului lui h si al identitatii (x->x).
Deja avem de mai sus informatia ca se poate si la nivel de a X-a.
Folosim inegalitati, ce-i drept nu demonstrate in mod uzual cu metode de a X-a, ci cu metode din dosarele X ale gazetelor.
Iata o posibilitate.
Sa consideram functia ajutatoare c:[0,1]->IR, definita prin c(t)=2^t-1.
Atunci c este o functie strict crescatoare (continua, derivabila) si (strict) convexa.
Convexitatea se refera aici la inegalitatea c( (s+t)/2 ) <= ( c(s)+c(t) )/2, care se poate verifica usor cu inegalitatea mediilor sau grupare de patrate. Pentru cei ce stiu sa deriveze, a doua derivata este pozitiva. Deoarece c(0)=0 si c(1)=1, functia (strict) convexa data este mai mica sau egala decat functia liniara pe [0,1] ce uneste aceste capete de grafic ale lui c, deci
arbitrar.
Fie acum x,y doua numere arbitrare in intervalul [0,2].
Atunci avem:
cu egalitate doar daca x este 0 sau 1.
De ce? Sa argumentam acest ultim lucru, impartind pe cazuri.
Daca x este in [0,1], atunci minimul min(x,1) este x, iar expresia de pe langa |x-1| este de forma (T^2+1)/(T+1) unde T este radicalul... in orice caz T este ceva subunitar, inegalitatea (T^2+1)/(T+1) <= 1 are loc, iar egalitatea are loc doar pentru T fie 0 fie 1, deci pentru 2^x-1 fie 0 fie 1, deci pentru x fie 0 fie 1.
Daca x este in [1,2], atunci minimul min(x,1) este 1, iar expresia de pe langa |x-1| este de forma 2/(T+1) unde T este radicalul... si stabilim imediat inegalitatea ceruta.
De aici deducem faptul ca | g(g(x))-1 | este ceva mai mic sau egal decat |x-1|, iar egalitatea are loc daca si numai daca x=1.
De aici obtinem in modul clasic unicitatea punctului fix pentru (gog), deoarece daca ar mai exista si altul, sa zicem p, dam repede de contradictie in
|p-1| = | g(g(p))-1 | < |p-1| .
Sper ca sunt si pasaje coerente in cele de mai sus.
Cer scuze pentru prezentarea dezlanata, e tarziu si m-am grabit sa plasez pe net.
Daca sunt intrebari, cu cea mai mare incredere.
Problema face o trecere buna de la inegalitati la analiza, de fapt, analiza este pe mari parti o continua aplicare indemanatica de inegalitati... (desigur mai mult in metoda de demonstratie a unor aspecte legate de metrice/norme)
Access general
Conţine mesaje necitite
