Se da paralelogramul ABCD in care masura unghiului ABC este de 150 grade si diagonala BD este perpendiculara pe AB. Fie E proiecia lui C pe AD si F intersectia laturii BC cu cercul circumscris triunghiului DEC, avind centrul O. Sa se arate ca:
a) DF este perpendiculara pe BC
b) Punctele E,O,F sunt coliniare
c) BD este tangenta la cercul circumscris triunghiului DEC
d)Daca AB = 2a, sa se calculeze perimetrul patrulaterului BDEF


---
LoveSun

[Citat] Se da paralelogramul ABCD in care masura unghiului ABC este de 150 grade si diagonala BD este perpendiculara pe AB. Fie E proiecia lui C pe AD si F intersectia laturii BC cu cercul circumscris triunghiului DEC, avind centrul O. Sa se arate ca: (a) DF este perpendiculara pe BC (b) Punctele E,O,F sunt coliniare (c) BD este tangenta la cercul circumscris triunghiului DEC (d) Daca AB = 2a, sa se calculeze perimetrul patrulaterului BDEF

(a) Patrulaterul CEDF este inscriptibil. Cum se exprima atunci unghiul din F in functie de cel din E? (De fapt, la noi stim ca CED este dreptunghic, deci cercul circumscris lui are diametrul CD si centrul O la mijlocul lui CD. Deoarece CD e diametru, orice triunghi cu varfurile C,D si inca un punct diferit de ele pe cerc este dreptunghic.)

(b) Ce fel de patrulater este CEDF? (Dreptunghi? Ce stim despre diagonalele intr-un dreptunghi?)

(c) BD _|_ AB si AB || CD, deci DB _|_ DC (diametru). Rezulta cele cerute?

(d) In BDEF stim deja EF = DC = AB = 2a.
Daca ducem perpendiculara BH din B pe AD, atunci triunghiul BHD este dreptunghic in H cu unghi de 30 de grade in A. Deci a = BH = FD = CE.
In triunghiul dreptunghic CDE stim deci DC = 2a si CE = a. Care este lungimea lui DE? (Pitagora, desigur.) Stim deci DE.
Mai departe fie stim ceva despre tangenta unghiului de 30 de grade pentru a calcula DB in ABD, fie rationam putin complicat dupa cum urmeaza:
In ABD stim AB = 2a si AH=DE. Folosind teorema catetei, putem calcula AD. Apoi in ABD latura BD.
Rezultate