Fie ecuatia

.
Punctele care o verifica impreuna cu cel de la infinit determina o curba eliptica ce depinde de a si b.
Presupun ca am punctele

pe curba avand coordonatele

.
Panta tangentei in

este data de

.

Acest lucru ar iesi din faptul ca avem

.
Cum se explica asta?

(Am ajutat LaTeX-ul(minimarinica))

O posibiliate de a gandi este urmatoarea:
Ecuatia data are liniarizare "Taylor" in jurul punctului dureros P1 facand schimbarea de variabila:
y = y1+Y
x = x1+X

Desfacem parantezele.
Termenul liber se duce (pe stanga si dreapta corelat), deoarece P1 este punct pe curba. Partea de grad exact 1 este "partea liniara". Ea este tangenta (desigur).

(Lucrurile ar trebui sa fie acum clare. Avand in vedere ca unii fizicieni scriu chiar y = y1 + dy, x = x1 + dx... cand liniarizeaza asa brutal, intuitia lor, dar nu modul lor de a scrie trebuie sa ne ajute.)
Pe scurt: Tangenta in P1(x1,y1) este partea liniara din dezvoltarea Taylor a polinomului ce defineste curba eliptica.

Multumesc