Am aflat azi o problem? de la un prieten, care mi-a spus c? s-a dat la Olimpiad?, clasa a 12a.

A?adar: Demonstra?i c?

Am în?eles c? solu?ia la care s-au gîndit propun?torii era cu dezvoltarea în serie Taylor a integrandului, dar, în ciuda acestui fapt, am motivele mele pentru care nu-mi place E posibil s? fie mult prea urît altfel, c? 8/9 invit? la ceva gen (primii doi termeni din) Taylor.

Astfel, m? provoc s? g?sesc o alt? solu?ie ?i v? rog s? face?i sugestii, c? m? tem c? nu m-a? descurca singur.

Un prieten a propus inegalitatea Jensen, dar n-avem func?ie convex?. Poate se poate adapta?

Mul?umesc.

[Citat] Astfel, m? provoc s? g?sesc o alt? solu?ie ?i v? rog s? face?i sugestii, c? m? tem c? nu m-a? descurca singur.

Pân? la urm?, v? provoca?i s? gasi?i alt? solu?ie postând problema ?i a?teptând sugestii?

Din pacate nu am gasit o alta incercare de abordare, deoarece aproximarea este foarte stransa. Folosind un soft liber usor (de)instalabil chiar si pe Windows, gp/pari, http://en.wikipedia.org/wiki/PARI/GP, am abtinut urmatoarele:

? intnum( x=0., Pi/2. , sin(cos(x)) )
%33 = 0.8932437409750261683437118006259786468807402280643416559999
? intnum( x=0., Pi/2. , sin(sin(x)) )
%34 = 0.8932437409750261683437118006259786468807402280643416559999
? 8./9.
%35 = 0.8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

Prefer sa lucrez cu f(x) = sin(sin(x)) , f :[0, pi/2] -> IR .
Functia f este concava, dar incercarea de a o integra aproximativ folosind metoda trapezului de exemplu pierde destul de repede toleranta prescrisa. In plus avem de aproximat poate sin(a) corespunzator, unde chiar si in cazurile a=1/2 sau a=1 (ca sa nu mai vorbim de a=1/sqrt(2) sau a=sqrt(3)/2) inca trebuie sa folosim o dezvoltare in serie (Taylor) (trunchiata).

Avand in vedere insa ca putem deduce recursiunea n I(n) = (n-1) I(n-2) si apoi calcula explicit pentru n impar

si obtinem astfel o serie alternata rapid convergenta la valoarea de calculat.
Primii doi termeni ne dau deja aproximarea ceruta, 1-1/9 = 8/9.
(Esta o aproximare de jos, deoarece termenii ramasi pot fi grupati doi cate doi, obtinand rezultate pozitive... De exemplu urmatorii doi se grupeaza la

1/(1.1.3.3.5.5)( 1-1/(7.7) ) > 0

si asa mai departe.) Iata cat de repede converge seria obtinuta la rezultat:

? for( N=0,20, S=sum(n=0,N, (-1)^n*prod(k=0,n, 1./(2*k+1)^2) ); print( "S(",N,") ~= ",S ); )
S(0) ~= 1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
S(1) ~= 0.888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888
S(2) ~= 0.893333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
S(3) ~= 0.893242630385487528344671201814058956916099773242630385487528
S(4) ~= 0.893243750174967106184037400968617899834831051762268693485624
S(5) ~= 0.893243740920508597276274043950811627579304346981114657882334
S(6) ~= 0.893243740975268706796438324169851901379632907364435095962827
S(7) ~= 0.893243740975025328531904260702211722384964780429398116238025
S(8) ~= 0.893243740975026170671227907980646463488752559415332500250913
S(9) ~= 0.893243740975026168338431997600373791075722676371050133536196
S(10) ~= 0.89324374097502616834372178424522701709026469424643399377818
S(11) ~= 0.89324374097502616834371178464854487488607841443948619820116
S(12) ~= 0.89324374097502616834371180064789956631360511248717731467408
S(13) ~= 0.89324374097502616834371180062595257771082386873128199078317
S(14) ~= 0.89324374097502616834371180062597867401118389399139601613857
S(15) ~= 0.89324374097502616834371180062597864685582451831474657386453
S(16) ~= 0.89324374097502616834371180062597864688076056916477104534504
S(17) ~= 0.89324374097502616834371180062597864688074021320489347434791
S(18) ~= 0.89324374097502616834371180062597864688074022807411179251518
S(19) ~= 0.89324374097502616834371180062597864688074022806433584358805
S(20) ~= 0.89324374097502616834371180062597864688074022806434165914363
? intnum( x=0. , Pi/2, sin(sin(x)) )
%29 = 0.893243740975026168343711800625978646880740228064341655999944

Integrarea numerica oferita de gp/pari tine pasul cu acuratetea incadrarii date de S(19) si S(20). (Sirul sumelor partiale (S(N)) de mai sus converge "alernat" la integrala de caluculat.)

Sper ca asa, gustul pentru analiza matematica folosita simplu si eficient poate fi reetalonat, in definitiv matematica nu stie nimic despre granita dintre cunostintele de liceu si cele de facultate, ceruta sa fie sarita unui elev de liceu la ON...