Fie un unghi XOY si punctele A apartinand [OX si B pe [OY. Se contruieste bisectoarea unghiului XOY si bisectoarea unghiului ABY. Se noteaza cu T intersectia celor doua bisectoare. Aratati ca AT este bisectoarea unghiului XAB.

Multumesc!

(1) Intr-un triunghi oarecare ABC, bisectorele se intersecteaza intr-un punct.
Cum se poate demonstra acest lucru? (Ceva, deci avem de calculat DB:DC = - |AB|:|AC| . Pentru a demonstra asa ceva se duce de exemplu prin C paralela la AD si se formeaza un triunghi isoscel, care ne ajuta sa scriem proportionalitatea care trebuie, Thales.)
Daca ducem acum bisectoarea unghiului exterior, AD', putem forma aceeasi constelatie? (triunghi isoscel ducand paralela la AD'...)
Ce relatie de proportionalitate rezulta?

Dam astfel de o demonstratie asemenatoare existentei punctului I, centru cercului inscris.

(2) Acelasi ABC oarecare. Cercul inscris "stim ca exista". (In fine, lucru discutabil din punctul de vedere al constructibilitatii, dar unii oameni fac rationamente de forma: luam doua laturi, ducem cercul tangent la ele ce are centru pe un punct aleator pe bisectoare ... si facem o homotetie unica de raport corespunzator, astfel incat si a treia latura sa fie tangenta.)
Exact la fel se arata ca exista (si este unic) un cerc tangent la cele trei laturi, aflandu-se in interiorurul unghiului A si in exteriorul unghiurilor B si C... Rezulta intersectia bisectorarelor corespunzatoare in centrul acestui punct.

(3) Fie ABC un triunghi oarecare.
Facem constructii in interiorul "sectorului" delimitat de unghiul <(BAC).

Fie I intersectia bisectoarelor interioare din B si C.
Fie I(A) intersectia bisectoarelor exterioare din B si C.

Notam cu b,c jumatatile de unghi B, respectiv C. (Deci masura(B)=2b.)
Fie b',c' complementele lui b,c.

Stim ca AI este bisectoare.
Vrem A,I,I(A) coliniare.

Stim ca patrulaterul (B,I,C,I(A)) este inscriptibil, doua unghiuri drepte in B si C. Putem calcula astfel unghiul <(B I I(A)) = <(B C I(A)) = c'.

In triunghiul AIB stim doua unghiuri, ramane sa-l calculam pe al treilea.
Daca suma <(A I B) + <(B I I(A)) este cat doua unghiuri drepte am castigat.

[Citat] Fie un unghi XOY si punctele A apartinand [OX si B pe [OY. Se contruieste bisectoarea unghiului XOY si bisectoarea unghiului ABY. Se noteaza cu T intersectia celor doua bisectoare. Aratati ca AT este bisectoarea unghiului XAB. Multumesc!

Folosim proprietatea:

(P) Un punct apartine bisectoarei unui unghi, daca si numai daca este egal departat de laturile unghiului.

Conform proprietatii (P) avem:

Din

si

adica

apartine bisectoarei unghiului XAB.

Multumesc frumos