Fie un triunghi ABC cu BC > AC > AB, cercul inscris este tangent laturilor AC, AB, si BC in punctele D, E, si F, respectiv. Daca M, G si H sunt mijloacele laturilor AC, AB, si BC, aratati ca DM = EG + FH.

(Problema 588, gogeometry.com)
Indicatie: Puteti folosi problema 587, iar solutia problemei 588 nu este deloc pretentioasa. Nu am postat-o inca acolo ca sa nu existe tentatii.

Sa plecam cu un triunghi ABC oarecare.
Fie a,b,c lungimile laturilor lui, deocamdata fara restrictia ordonarii din problema. Luam D si M ca in problema.

Se stie atunci ca
AD = (p-a) = (b+c-a)/2
AM = b/2 .

Deci distanta de la D la M este modulul diferentei dintr (b+c-a)/2 si b/2, adica:
|a-c| / 2.

Revenim la problema. Ni se da ordonarea a>b>c.
Avem folosind abstract formula dedusa
DM = |a-c| / 2 = (a-c) / 2 ,
EG = |a-b| / 2 = (a-b) / 2 ,
FH = |b-c| / 2 = (b-c) / 2 , de unde imediat

DM = EG + FH .