Sa se afle numarul real x care verifica egalitatea:

Problema a fost primita la Stiinte Economice, iar rezultatul stiu ca este 3.55%, insa nu stiu cum se poate calcula.

[Citat] Sa se afle numarul real x care verifica egalitatea: Sum[3500/(1+x)^i, {i,1, 16}]=42171 Problema a fost primita la Stiinte Economice, iar rezultatul stiu ca este 3.55%, insa nu stiu cum se poate calcula.

Ati incercat sa folositi formula sumei primilor termeni ai unei progresii geometrice?

Da, dar din pacate, am ajuns la o ecuatie pe care nu stiu sa o rezolv:

Am incercat si sa fac substitutia (1+x)=t, insa tot dau peste o ecuatie de grad 17.

[Citat] Sa se afle numarul real x care verifica egalitatea: Problema a fost primita la Stiinte Economice, iar rezultatul stiu ca este 3.55%, insa nu stiu cum se poate calcula.

Incerc sa scriu si eu ceva la aceasta problema.
Notam cu B numarul 42171 / 3500 (care este 12,048857142857142... cu perioada evidenta).
Incercam sa rezolvam ecuatia in necunoscuta q = 1/(1+x) din intervalul (0,1).

Observam ca functia din stanga semnului = din prima ecuatie este o functie strict crescatoare pe (0,1) . Limitele spre 0 si 1 exista si au respectiv valorile 0 si 16. Deoarece B este in ( 0, 16 ), solutia exista si este unica.

Deoarece q > q^2 > ... > q^16 avem o prima incadrare grosiera a solutiei,

B < q+q+...+q = 16 q si
B > q^16+q^16+...+q^16 = 16 q^16

Exista software numeric multiplu scris pentru a rezolva astfel de probleme. Folosind gp/pari (program mic si liber), vedem ca radacina este:
? B= 42171 / 3500.
%1 = 12.04885714285714285714285714
? B/16
%2 = 0.7530535714285714285714285714
? (B/16)^(1/16)
%3 = 0.9824300026907737934661464436
? solve( q=0.753, 0.983, q*(1-q^16)/(1-q) - B )
%4 = 0.9657173245295683374995522379

Ei ii corespunde valoarea lui x...

? x=1/%4 - 1
%5 = 0.03549970017068073773037936409

care este aproape de acele 3,55 de procente.

(Desigur, este usor sa "compunem" astfel de probleme, dandu-ne un q, calculand B-ul cu un calculator de buzunar si inmultind cu suma de baza a platilor anuale, in problema 3500. Dar drumul invers nu este simplu.)

Daca cele de mai sus nu ajung pentru A.S.E. sau nu sunt in spiritul de azi al academiei, iata o metoda de atac aproximativa, alternativa, care se incadreaza matematic perfect in spiritul secolului XVII.

Stim ca avem de gasit un x "mic", in sensul ca x la a 4-a putem sa-l uitam.
(Diferenta de cativa centi sau bani o da programatorul sau contabilul cu placere inainte de a asigura si aceasta precizie.)

Vrem sa aproximam de exemplu 1/(1+x) in jurul lui 0.
In matematica exista ceea ce se numeste polinom Taylor sau serie Taylor, lucru etablat special pentru acest scop.
Chiar daca nu stim ce este polinomul Taylor, avem de exemplu

1/ (1+x) ~ (1-(-x)^4) / (1-(-x)) = 1-x+x^2-x^3

unde ~ inseamna "aproximativ egal aici. Matematicienii scriu "mai exact"

1/(1+x) = 1-x+x^2-x^3 + O(x^4)

pentru a inregistra omiterea unor termeni de ordinul lui x^4.
Pentru a vedea cum am putea folosi asa ceva si cu ce foloase (rezultate), sa fim pentru inceput mai generosi, sa omitem chiar si termenii de ordin 2 in x (si cei superiori cu atat mai mult). Avem atunci:

La noi, N=16.
Daca omitem acum prin aproximare acel O(x^2), putem sa incercam sa rezolvam ecuatia de gradul I in x obtinuta prin aproximare (liniarizare) a ecuatiei date, avem de gasit deci solutia pentru:

16 + 8.17 x = 42171 / 3500 deci

8.17 x = -13829/3500

x ~ 0.029052521

si dam de o solutie foarte aproximativa in care am omis un efect al "dobanzilor pe dobanzi" poate...

De aceea, incercam sa lucram mai bine, anume sa consideram si termenii patratici in x. Cum arata polinomul Taylor T de ordinul doi (sau T indice 2 deseori in notatie) pentru 1/(1+x)^k ? Fie ii stim formula, deci calculam

fie incercam direct sa calculam
1/(1+x)^k ~ (1-x+x^2)^k ~ ( (1-x)(1+x^2) )^k
si ne aranjam deja cu formula binomiala... (Aproximarea ~ inseamna ca la fiecare pas introducem doar termeni in x la o putere mai mare decat sau chiar a treia.)
In acest caz obtinem aproximarea:

Facand deci corectura de ordinul 2 obtinem o ecuatie aproximativa:

Ecuatia de gradul doi asociata in cazul nostru are solutiile:

? solve( x=0,.05, N-B -N*(N+1)/2*x + N*(N+1)*(N+2)/6*x^2 )
%18 = 0.03748185996866869372577725900
? solve( x=.05,1., N-B -N*(N+1)/2*x + N*(N+1)*(N+2)/6*x^2 )
%19 = 0.1291848066979979729408894077

(codul este pentru gp/pari). Desigur ce incercam sa verificam cat de departe este solutia cu 3,75%. Este totusi prea departe.


In incheiere incerca sa prezint modul obisnuit de aproximare.
El foloseste un "operator" K dat de formula:

K(x) = x - f(x)/f'(x) .

Cautam punctul fix pentru K, i.e. K(x)=x este o ecuatie echivalenta cu f(x) = 0 pe o vecinatate und f' nu se anuleaza. Speram ca acest K sa fie o contractie, macar in vecinatatea punctului cautat... In practica (pragmatica) nu se mai cauta nici un interval de convergenta pentru urmatorul sir de puncte obtinute aplicamd K iterativ pe o valoare pe care o avem in mana, plecand cu o valoare convenabila, de exemplu zero.

In pari/gp avem de exemplu...

? f(x) = sum(k=1,16, 1/(1+x)^k) - B
? f(x)
? K(0.)
%23 = 0.02905252100840336134453781513
? K(K(0))
%24 = 0.03527290864783770144359303044
? K(K(K(0)))
%25 = 0.03549941574905744159616807360
? K(K(K(K(0))))
%26 = 0.03549970017023318418309732454
? K(K(K(K(K(0)))))
%27 = 0.03549970017068073773037825591

(Observatie: Primul numar, K(0), parca l-am mai vazut pe undeva mai sus...)
(Observatie: Newton stia ca avem o convergenta "patratica" la punctul fix.)

Nota: Matematicienii, fizicienii si economistii sunt rugati sa isi faca temele in directia matematicii financiare ori de cate ori au ocazia, in acest domeniu se poate asigura decent o existenta care sa foloseasca mult din cunostintele de la scoala.