| Autor |
Mesaj |
|
|
1)Fie patratele ABCD si ABEF situate in plane diferite.Pe [AC] se ia punctul M,pe [BF] punctul N astfel incat [AM]=[BN].Aratati ca MN || (DCEF).
2)Demonstrati ca numarul A=2^n + 1 nu este divizibil cu 31 pentru niciun numar natural n.
Multumesc!
|
|
|
[Citat]
(1) Fie patratele ABCD si ABEF situate in plane diferite.
Pe [AC] se ia punctul M,
pe [BF] punctul N,
astfel incat [AM]=[BN].
Aratati ca MN || (DCEF).
|
Solutia bruta cu vectori. (Cei ce fac cu placere mai mult fizica decat matematica, poate arunca o privire si-si dau seama ca atunci cand fac fizica, fac mai mult matematica decat fizica...)
Luam A ca punct origine intr-un reper cu cei trei vectori generatori
AB = b
AD = d
AF = f
(unde nu am mai pus sageti peste AB,AD,AF si b,d,f ca sa nu fac pom de Craciun din formule.) Atunci AM este o bucata din AC = AB+BC = AB+AD = b+d, sa zicem ca trebuie sa inmultim cu scalarul t. Rezulta usor:
AM = t.(b+d)
AN = b + t.(f-b)
DC = AB = b
DF = AF-AD = f-d
MN = AN-AM = b+t.(f-b) - t(b+d) = ceva.b + t(f-d)
= combinatie liniara de vectorii DC si DF,
deci dupa o "translatare simultana a extremitatilor" din planul generat de DC si DF,
deci MN este vector paralel cu planul DCF.
A se vedea ca aceasta "spargere" a structurii (nu ofera suport geometric) dar ofera un mod efectiv de a intelege paralelismul.
Solutia de geometrie sintetica:
Prin M si N ducem paralele la AB. Ele taie AD si respectiv AF in puncte pe care le notam cu M' si respectiv N'.
Atunci (intre lungimi de segmente au loc proportionalitatile):
AM':AD = AM:AC = BN:BF = AN':AF ,
deci M'N' este o dreapta paralela cu FD.
Deci MN se afla intr-un plan determinat de o paralela la CD (una dintre cele doua paralele MM' sau NN') si de o paralela la FD (care este M'N').
(I.e. planul MM'N'N este paralel cu CDFE deoarece MM' || CD si M'N' || DF .)
Deci MN || CDFE.
[Citat]
(2) Demonstrati ca numarul A(n) = 2^n + 1 nu este divizibil cu 31 pentru niciun numar natural n.
|
Lucram in inelul claselor de resturi modulo 31.
Pentru cei ce nu au dat de inele, studiem restul la impartirea cu 31 pentru numarul A(n) . In primul rand observam ca 2^5 = 32 da restul 1 la impartirea cu 31. (Ne putem deja astepta la o periodicitate a resturilor obtinute la impartirea lui A(n) cu 31, aceste resturi se repeta din 5 in 5. De ce?)
Scriem n = 5k+r unde r este intre 0,1,2,3,4.
Atunci
A(n)-A(r)
= (2^n+1) - (2^r+1)
= 2^n-2^r
= 2^r ( 2^(5k)-1 )
= 2^r ( (2^5)^k - 1 )
= 2^r ( 32^k-1 )
= 2^r ( 32-1 ) ( 32^(k-1) + .... + 32 + 1 )
se divide cu (32-1) = 31.
(Pentru cei ce au vazut deja teorema lui Fermat si poate chiar stiu structura grupului unitatilor din corpul cu 31 de elemente, cele de mai sus sunt deja in sange. Pentru ceilalti am o rugaminte, puneti va rog intrebari...)
De aceea ajunge sa aratam ca A(r) nu se divide cu 31 pentru r intre 0,1,2,3,4.
Intr-adevar, nici unul din numerele 2, 3, 5, 9, 17 nu se divide cu 31.
---
df (gauss)
|
Access general
Conţine mesaje necitite
