Am gasit intr-o carte americana (J. Rotman - Advanced Modern Algebra) definitia urmatoare pt semnul unei permutari:

Fie

, unde am pus in evidenta descompunerea in cicluri a permutarii alfa.

Autorul arata mai inainte ca (123...n)=(1n)(1n-1)...(13)(12), aceasta fiind descompunerea in transpozitii a unui ciclu si mai apoi ca daca t e o transpozitie si a o permutare oarecare, atunci sgn(ta)=-sgn(a), cu definitia de mai sus, relatie din care deduce apoi sgn(ab)=sgn(a)sgn(b). Si mai zice, ca definitie, ca o permutare e para daca se descompune intr-un nr par de transpozitii, urmind apoi sa arate ca orice permutare para are semnul 1.

Intrebarea mea e cum rezulta aceasta definitie a semnului din ce stiam noi si viceversa? Mai exact, de ce permutarea alfa scrisa in definitie are n-t inversiuni?

Recunosc faptul ca nu a zabovit prea mult asupra acestei probleme...

Multumesc.

Cel mai simplu raspuns este cel structural.
Anume exista un morfism de grupuri, epsilon sau sign sau signum,

de la grupul de permutari cu n elemente,
S(n),
(notatie fara indici, ca sa pot tipari fara poze latex),
inzestrat cu compunerea operatiilor ca operatie.

la grupul cu doua elemente, {+1, -1} cu inmultirea lor (ca pe ZZ) ca operatie.

Comentariu:
Deja aici trebuie sa fixam o definitie:
Sa zicem ca semnul permutarii sigma este prin definitie (minus unu) la puterea numarului de inversiuni ale lui sigma. In formula:

(Fiecare factor din produsul de mai sus este -1 daca si numai daca apare o "inversiune", i.e. relatia i<j se duce intr-o relatie sigma(i)>sigma(j).)
Se demonstreaza relativ usor folosind aceasta formula ca signum (sau epsilon, sau sing) este morfism, in principiu vazand pentru o alta permutare tau ca daca i parcurge multimea {1,2,...,n}, atunci tau(i) parcurge aceeasi multime, si ca putem renunta la conditia relativ stricta i<j de mai sus, care fixeaza cumva reprezentanti pentru fiecare "multime dublet" {i,j}.

(Unii folosesc in loc de j-i si analoagele chiar polinoame in n variabile, iar in loc de j-i apare o scriere pompoasa cu X(j)-X(i), a se vedea
http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_of_a_permutation... Acelasi lucru.)

Nu insist. Plec de la ideea ca putem demonstra ca dam de un morfism. Dar daca apar intrebari ma reactivez.


De aici totul trebuie sa fie clar!
O transpozitie (i,j) are semnul -1. (Care ii sunt inversiunile? De exemplu pentru (3,9) in S(17) care perechi (k<l) se duc in perechi (k'>l') ? E clar ca daca nu luam 3,9 printre k,l, atunci k,l stau pe loc la actiunea acestei inversiuni, deci k<l se duce in k<l, nu se inverseaza ordinea. Ce se intampla insa cu 3<7, 7<9, 3<9? care sunt toate inversiunile? Care e paritatea numarului inversiunilor?)

O transpozitie e cel mai simplu exemplu de ciclu.
Un ciclu (i,j,k) se scrie ca produs de 2 transpozitii,
(i,j,k) =
deoarece
(i,j,k)(i) = j si (i,j)(j,k)(i) = (i,j)(i) = j,
(i,j,k)(j) = k si (i,j)(j,k)(j) = (i,j)(k) = k, si (mare surpriza din cauza bijecitvitatii...)
(i,j,k)(k) = i si (i,j)(j,k)(k) = (i,j)(j) = i.

(Mai sus am vazut permutarile ca functii... acel (i) se citeste "de i" iar ceea ce e inainte e o functie sau o compunere.)

De aici incolo mi-e mai usor sa raspund la intrebari.