Pe un cerc se consider?

puncte ?i se traseaz? toate coardele care unesc dou? câte dou? aceste puncte. Presupunând c? nu exist? trei coarde concurente, în câte par?i este împ?r?it interiorul cercului? Justifica?i!
Mai jos ave?i cazurile

în care num?rul de p?r?i este, respectiv,

Uploaded with ImageShack.us

Se observa si se deduce prin inductie ca numarul de parti este

, unde

este egal cu numarul de puncte distincte de pe cerc. Oare este valabil si pentru o elipsa?

[Citat] Se observa si se deduce prin inductie ca numarul de parti este , unde este egal cu numarul de puncte distincte de pe cerc.Oare este valabil si pentru o elipsa?

Încerca?i ?i pentru

M-am grabit fara sa vad si pentru alte valori ale lui n....S-ar putea sa conteze si pozitia punctelor pe cerc.Problema e intr-adevar complicata....dar frumoasa.S-ar putea sa fie vorba de o functie polinomiala de parametru n de un anumit grad,sau mai multe functii polinomiale de parametru n de anumite grade pentru anumite intervale de valori ale lui n.

Pozi?ia punctelor de pe cerc conteaz? doar în m?sura precizat? în enun?, adic? s? nu existe trei diagonale care s? treac? prin acela?i punct.

[Citat] S-ar putea sa fie vorba de o functie polinomiala de parametru n de un anumit grad,sau mai multe functii polinomiale de parametru n de anumite grade pentru anumite intervale de valori ale lui n.

Sigur. Sau s-ar putea s? fie cu totul altceva, nu?

Hai s? post?m ceva, c? nu doare.

Raspunsul este n(n-1)/2 + Combinari de n luate cate 4 + 1. Partea de combinari functioneaza doar de la n=4 in sus. Mai exact, n(n-1)/2 reprezinta numarul total de coarde si combinari de n luate cate 4 este numarul de puncte "secundare" (adica de intersectie).
Justificarea... e cam mult in cuvinte (dar e ceva).

EDIT: Raspunsul CRED ca este...

Într-adev?r, rezultatul este

, dar am dori s? vedem o justificare...

Dupa cum spuneam, justificarea este mai degraba empirica si se bazeaza destul de mult pe observatie. O sa incerc ceva si sper sa nu ma fac de ras:
Mai intai, privind in primele cazuri (n de la 1 la 3), observam ca fiecare coarda imparte spatiul in 2. Insa numarul de parti nu creste cu 2, ci doar cu 1, cealalta parte urmand la randul ei sa fie impartita de o alta coarda. Asta se intampla, desigur, pana la ultima coarda, de unde vine si acel +1.
Apoi, mergand la un caz mai complex (n=4), observam ca, atunci cand apare un punct de intersectie, spatiul nu este impartit in 2, ci in 4. Cu toate acestea, urmand un rationament asemanator, o parte urmeaza sa fie utilizata (fiind acel +1), alte 2 au fost numarate in prealabil (pt fiecare din cele 2 coarde care se intersecteaza, cu formula n(n-1)/2 ) si, in sfarsit, o parte "o numaram". De aici adunam in formula numarul de puncte de intersectie.
Rezultatul(sau observatia) se poate apoi generaliza.
Recunosc ca cea mai mare bataie de cap am avut-o cu determinarea numarului punctelor de intersectie si, macar pentru acest lucru, problema mi s-a parut interesanta. Ca sa explic si partea asta, spun ca am luat toate "patrulaterele" posibile utilizand cele n puncte, fiecare avand un singur punct de intersectie (al diagonalelor). De aici Combianri de n luate cate 4.
Cam asta ar fi. Stiu ca nu e deloc "matematic", dar eu cam asa am gandit. Daca aveti o alta solutie, lasati, va rog, macar un indiciu .

Exista, desigur, ?i alte solu?ii, dar cea pe care o vedem dat? de dv. este excelent?. Poate nu foarte explicit?, dar este exact solu?ia pe care voiam s? o prezint. Probabil voi face asta mâine, prezentând si o solu?ie mai complicat? pu?in, care folose?te rela?ia lui Euler pentru grafuri planare.

Am facut cate ceva despre grafuri euleriene anul trecut, la informatica. Se poate rezolva cu materia de liceu?