1.La un turneu de fotbal participa 5 echipe care joaca fiecare cu fiecare.Daca 4 echipe au realizat respectiv 8,7,5,4 puncte,cate puncte a realizat cea de-a cincea echipa?
2.Aflati numerele naturale a cu proprietatea ca daca le inmultim cu 30 numarul divizorilor creste de 3 ori.
3. Aflati numerele prime a,b,c stiind ca a+b+abc=168

Multumesc anticipat

[Citat] 1. La un turneu de fotbal participa 5 echipe care joaca fiecare cu fiecare. Daca 4 echipe au realizat respectiv 8,7,5,4 puncte, cate puncte a realizat cea de-a cincea echipa? 2.Aflati numerele naturale a cu proprietatea ca daca le inmultim cu 30 numarul divizorilor creste de 3 ori. 3. Aflati numerele prime a,b,c stiind ca a+b+abc=168.

(1) La fiecare meci se impart cumva 2 puncte intre echipele ce participa l a turneu? (Problema nu este cinstit pusa pentru cei ce nu stiu cate puncte se dau cum. Nici pentru mine nu e cinstita..) Sau se dau 3, respectiv 0 puncte pe meci echipei ce castiga, respectiv pierde, iar daca un meci se termina la egalitate, fiecare din cele doua echipe ce au jucat primeste un punct?

Cate meciuri au fost in total? Fiecare echipa (5 posibilitati) joaca cu fiecare din celelalte patru. Numarand asa avem 5x4 posibilitati, dar fiecare meci intre echipele A si B este numarat de doua ori, o data A-B si o data B-A. Deci (daca nu se joaca tur-retur) avem 5x4/2 = 10 meciuri.

Sau numaram pur si simplu 4+3+2+1 = 10 .

Sau desenam tabela:
*....
.*...
..*..
...*.
....*
si numaram casutele de sub diagonala.

Cele patru echipe au adunat deja 8+7+5+4 = 24 de puncte. In punctul acesta rog a mi se preciza mai exact modul de punctare pe meci...

(2) Sa zicem ca numarul dat a se scrie (descompunere in factori primi) sub forma:

Aici puterile k(2), k(3), k(5) pot lua toate sau in parte valoarea zero.
Celelalte puteri k(p1), ... k(ps) le luam diferite de zero.
Numerele prime ce apar, 2,3,5,p1,...,ps pe presupunem diferite doua cate doua.

Atunci numarul de divizori al lui a, respecti ai lui (30 a) este:

Atunci ecuatia D(30 a) = 3 D(a) revine la:

3 (k(2)+1) (k(3)+1) (k(5)+1)
=
(k(2)+2) (k(3)+2) (k(5)+2) .


Sa observam ca daca tripletul ( k(2),k(3),k(5) ) satisface cele de mai sus, atunci orice permutare aplicata elementelor din in interiorul acestui triplet satisface de asemenea. Luam asadar cele trei elemente, k(2), k(3), k(5) si le ordonam, mai adunam cate un 1 (unu), obtinand trei numere naturale nenule A,B,C (notatie) cu

Daca cumva A>2, atunci

contradicite. Deci A este fie 1, fie 2. Ne ramificam:

A=1: Dam de 3BC = 2(B+1)(C+1), deci
BC = 2B + 2C + 2, deci
BC - 2B - 2C + 4 = 2+4, deci
(B-2)(C-2) = 6,
deci (avand in verede ordinea pentrui B,C) deoarece 6=(-6)(-1) si 6=(-3)(-2) se exclud, raman cazurile 6=1x6 si 6=2x3, obtinand astfel solutiile:

(A,B,C) = (1,3,8) si
(A,B,C) = (1,4,5) .

A=2: Dam de 3BC = 3(B+1)(C+1), deci nu mai dam de nici o solutie.

Numerele a cautate sunt astfel cele si numai cele de forma:

(cu alte cuvinte, N nu se divide nici cu 2, nici cu 3, nici cu 5) SI
(
{b,c,d} = {0,2,7} (6 posibilitati)
SAU
{b,c,d} = {0,3,4} (6 posibilitati)
) .

Un exemplu cu computerul:

sage: a = 3^2 * 5^7 * 1001
sage: print len( a.divisors() )
192
sage: print len( (30*a).divisors() )
576
sage: 576 / 192
3
sage: a = 2^4 * 5^3 * 10000001
sage: print len( a.divisors() )
80
sage: print len( (30*a).divisors() )
240
sage: 240 / 80
3

(Mai sus, metoda divisors() a lui a aduna multimea (lista) divizorilor >0 ai lui a, iar len este functia lungime (length).)

(3) O prima veste buna este cea ca a,b,c sunt numere prime sub 168, deci din multimea:

sage: [ p for p in primes(168) ]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149,
151, 157, 163, 167]

Computerul meu intotdeauna se simte bine cu o lista finita de incercari...

Bun, plecam cu ecuatia

a + b + abc = 168 = 2.2.2 .3 .7 .

(Fara a restrange generalitatea, putem presupune ca a este mai mic sau egal cu b.)

Daca a este cumva 2, atunci toti termenii cu exceptia lui b se divid cu 2, deci si b se divide cu 2, deci a=b=2. Ecuatia 2+2+4c = 168 are solutia c=41, pe care o inregistram ca solutie.
(2,2,41)

Daca a este cumva 3, atunci si b se divide cu 3, deci este 3, deci 3+3+9c = 168, deci c=18, numar care nu este prim. Nici o solutie.

Daca a este cumva 7, atunci si b se divide cu 7, deci este 7, deci 7+7+49c = 168, deci c nu este intreg. Nici o solutie.

Daca a este 5, obtinem ecuatia 5+b+5bc = 168, i.e. b(1+5c) = 163, numar prim, deci b=163, deci c=0, care nu este numar prim.

Daca a si b nu se afla intre 2,3,5,7, atunci a,b>10, folosim oricum c>1 pentru a obtine
a+b+abc > 10+10+100x2, deci nu mai dam de solutii.

Cu calculatorul obtin de asemenea:

Iti multumesc frumos!
La exercitiul 1 : Echipa care castiga ia 3 puncte,cea care pierde nu ia nici un punct,in caz de egalitatate ambele echipe primesc cate 1 punct.

Daca punctajul pe meci conduce la impartirea a fie 3, fie doua puncte, atunci dupa cele 10 meciuri avem in total (pe toate echipele) minimal 20 de puncte si maximal 30 de puncte. Cazul in care avem 20 de puncte este urmatorul:

*1111
1*111
11*11
111*1
1111*

unde,
daca notam liniile cu X variabil din {A,B,C,D,E}
si coloanele cu un Y variabil in aceeasi multime, dar diferit de X,

pe linia X, coloana Y, deci in pozitia (X,Y),
sta numarul de puncte al echipei X realizate in maciul cu Y,
iar pe pozitia (Y,X) sta "rezultatul complementar", cel al lui Y din acelasi meci.

Cum putem acum distribui punctele?
O prima obstructie pe care o vedem este suma de 24 de puncte.
O urmatoare obstructie este pentru fiecare rezultat in parte, de a-l obtine folosind o suma de patru termeni, printre care apar doar 3,1,0.
De exemplu:
8 = 3+3+1+1 este o reprezentare obligatorie. (Ordinea o mai aranjam...)
7 = 3+3+1+0 este din nou o reprezentare obligatorie. (3+1+1+1 nu ajunge, iar 3+3+3 e deja prea mult.)
5 = 3+1+1+0 este din nou o reprezentare obligatorie. (1+1+1+1 e prea putin, 3+3 e deja prea mult.)

Cu 4 avem in sfarsit doua sanse:
4 = 1+1+1+1 sau
4 = 3+1+0+0.

In primul caz s-au facut in total 4+2+1+2 = 9 "jumatati de perechi de remiza" deci cinci remize (cel putin), una din ele dintre echipa cu 4 puncte si ultima, deci ultima echipa are cel putin un punct, deci suma totala spune ca ultima echipa a realizat 1+0+0+0 puncte. Mai multe ar depasi 25. Putem realiza aceasta situatie?

Din start se impune
*xx13
x*x13
xx*13
111*1
0001*

si deoarece numai doua echipe mai au remize de impartit...

*x113
x*x13
1x*13
111*1
0001*

deci

*3113
0*313
10*13
111*1
0001*

Se pare ca se poate!

Celalalt caz, 4 = 3+1+0+0 .
Deci rezultatele au fost pana acum, de asa natura incat punctele se aduna dupa cum urmeaza:
8 = 3+3+1+1
7 = 3+3+1+0
5 = 3+1+1+0
4 = 3+1+0+0
Vedem de 6x3 si de 4x0. Deci ultima echipa a pierdut de cel putin doua ori.
Trebuie sa distribuim deci ceva de forma
? = a+b+0+0
pentru ea. Deoarece numarul total de termeni egali cu 1 trebuie sa fie par, putem distribui...
3+3+0+0 - exclus, mai multe castiguri decat pierderi
3+0+0+0 - de ce nu?
1+1+0+0 - de ce nu?
0+0+0+0 - exclus, mai multe pierderi decat castiguri.

Sa vedem ce tabele putem realiza.

*1331
1*033
03*11
001*3
1010*

realizeaza situatia cu 1+1+0+0 = 2 .

*1133
1*033
13*10
001*3
0030*

realizeaza situatia cu 3+0+0+0 = 3 .

E tarziu pe la mine, daca ceva nu e bine rog a fi corectat.
In orice caz, cam asa cred ca trebuie destelenita problema.

[Citat] 1.La un turneu de fotbal participa 5 echipe care joaca fiecare cu fiecare.Daca 4 echipe au realizat respectiv 8,7,5,4 puncte,cate puncte a realizat cea de-a cincea echipa?

Numarul minim de jocuri al echipelor este:

Echipa cu 8 puncte: 2 meciuri castigate si 2 meciuri la egalitate
..............7 ...........2..........................1....................
..............5............1..........................2....................
..............4............1..........................1....................
Obtinem astfel 6 meciuri cu victorie de partea unei echipe, si trei meciuri egale.

A ramas necontabilizat un meci(in total s-au jucat 10) in care evident a cincea echipa a obtinut victorie, deci 3 puncte(nu putea avea meci nul, deoarece acesta ar fi trebuit sa se regaseasca si in palmaresul altei echipe).