Cum s? rezolv (demonstrez) f?r? induc?ie ?

Pe alocuri, este evident :

[Citat] Cum s? rezolv (demonstrez) f?r? induc?ie ? Pe alocuri, este evident :

Incercati sa logaritmati in baza 10 anumite inegalitati.Prima inegalitate din sir nu se verifica pentru un anumit k deoarece daca, k tinde la infinit nu se verifica....Sigur

[Citat] [Citat] Cum s? rezolv (demonstrez) f?r? induc?ie ? Pe alocuri, este evident : Incercati sa logaritmati in baza 10 anumite inegalitati.Prima inegalitate din sir nu se verifica pentru un anumit k deoarece daca, k tinde la infinit nu se verifica....Sigur

Buna observatie!

Pentru k=0, avem: 1<2<3<4<8<9
Pentru k=1, avem:9<16<27<32<64<81


E un prim pas pentru a demonstra (convinge)(?!)

Scriem 3^3=9, 2^3=8, impartim peste tot cu 9^k si ramane sa rezolvam (deci sa determinam) valorile lui k pentru care avem sirul de inegalitati:

E o chestie de gust cea cu scrierea lui (1 - 1/9) in loc de 8/9. Cer scuze.

In primul rand observam ca expresia ce trebuie sa stea intre 1 si 3 (in ultimul sir de inegalitati) tinde la 0.
Deci de la o vreme (pentru k suficient de mare incepand cu un anume k0) expresia va scapa (pentru totdeauna) sub 1.

Calculez aceasta valoare cu computerul:
sage: (ln(2) / ln(9/8) ) . n()
5.88494919236172

(Deci k0=6, de aici incolo sirul de inegalitati e fals.)
Intr-adevar, pentru k = 5 avem

Ramane sa vedem pentru care dintre valorile lui k intre 0,1,2,3,4,5 are loc intregul sir de inegalitati. Doar pentru 0,1,2.
Cu computerul: