Am citeva nelamuriri fundamentale legate de parabole. Desi mi-e rusine fata de unele persoane, o sa le postez.

Asadar: definitia parabolei cuprinde si altceva in afara de 'Locul geometric al pc egal departate de un pc fix, focar, si o dreapta fixa, directoare' ?

Am mai gasit si alte proprietati, pe care unii le iau ca facind parte din definitie, in speta ca directoarea e perpendiculara pe axa de simetrie a parabolei.

Eu intreb: afirmatia anterioara intra sau nu in definitie? Daca nu, cum se dovedeste? Eu stiu doar ceva 'fizic', adica folosind proprietatile optice ale parabolei, rezulta ca focarul este in parabola, pe axa de simetrie. Din asta rezulta si afirmatia despre directoare, intrucit virful parabolei trebuie sa fie mijlocul segmentului care uneste focarul cu directoarea.

In functie de raspunsul la intrebarile de mai sus, se mai ia sau nu in considerare problema: cum gasim coordonatele F si ecuatia d, pornind 'de la zero', adica de la ecuatia generala a parabolei y=ax^2+bx+c, luind F(xF, yF), d:mx+ny+p=0 si A(xA, yA) pe parabola si definitia dist(F, A)=dist(A,d)? Doar atit, fara alte proprietati. Adica...se poate?

Multumesc.

P.s. Scuze lipsa de LaTeX, postez de pe telefon si mi-e mai comod asa.

[Citat] Asadar: definitia parabolei cuprinde si altceva in afara de 'Locul geometric al pc egal departate de un pc fix, focar, si o dreapta fixa, directoare' ? Am mai gasit si alte proprietati, pe care unii le iau ca facind parte din definitie, in speta ca directoarea e perpendiculara pe axa de simetrie a parabolei. Eu intreb: afirmatia anterioara intra sau nu in definitie? Daca nu, cum se dovedeste?

Nu intra. Se dovedeste simplu. Consideram dreapta d, perpendiculara pe directoare, care trece prin focar. Aratam ca aceasta este axa de simetrie pentru parabola. Intr-adevar, daca M se afla pe parabola, simetricul sau fata de d este, de asemenea, pe parabola, distantele la focar si la directoare fiind egale, din cauza simetriei

[Citat] In functie de raspunsul la intrebarile de mai sus, se mai ia sau nu in considerare problema: cum gasim coordonatele F si ecuatia d, pornind 'de la zero', adica de la ecuatia generala a parabolei y=ax^2+bx+c, luind F(xF, yF), d:mx+ny+p=0 si A(xA, yA) pe parabola si definitia dist(F, A)=dist(A,d)? Doar atit, fara alte proprietati. Adica...se poate?

Sigur. Numai ca avand in vedere cele de mai sus, luam dreapta de ecuatie y=c si xF=-b/2a (se verifica algebric ca dreapta x=-b/2a e axa de simetrie pentru graficul functiei f(x)=ax^2+bx+c)

[Citat] [Citat] Asadar: definitia parabolei cuprinde si altceva in afara de 'Locul geometric al pc egal departate de un pc fix, focar, si o dreapta fixa, directoare' ? Am mai gasit si alte proprietati, pe care unii le iau ca facind parte din definitie, in speta ca directoarea e perpendiculara pe axa de simetrie a parabolei. Eu intreb: afirmatia anterioara intra sau nu in definitie? Daca nu, cum se dovedeste? Nu intra. Se dovedeste simplu. Consideram dreapta d, perpendiculara pe directoare, care trece prin focar. Aratam ca aceasta este axa de simetrie pentru parabola. Intr-adevar, daca M se afla pe parabola, simetricul sau fata de d este, de asemenea, pe parabola, distantele la focar si la directoare fiind egale, din cauza simetriei

OK, asta-i clar.

[Citat] [Citat] In functie de raspunsul la intrebarile de mai sus, se mai ia sau nu in considerare problema: cum gasim coordonatele F si ecuatia d, pornind 'de la zero', adica de la ecuatia generala a parabolei y=ax^2+bx+c, luind F(xF, yF), d:mx+ny+p=0 si A(xA, yA) pe parabola si definitia dist(F, A)=dist(A,d)? Doar atit, fara alte proprietati. Adica...se poate? Sigur. Numai ca avand in vedere cele de mai sus, luam dreapta de ecuatie y=c si xF=-b/2a (se verifica algebric ca dreapta x=-b/2a e axa de simetrie pentru graficul functiei f(x)=ax^2+bx+c)

Asa ma gindeam si eu, dar nu voiam sa fac nicio rafinare cu ajutorul proprietatilor parabolei. Deci sa folosesc exclusiv definitia cu egalitatea distantelor, dar probabil n-are rost o asa ambitie. Cu observatiile dvs. imi iesise.

Multumesc.

Dati-mi voie, va rog, sa continui sa ma fac de rusine.

Ati putea, va rog frumos, sa-mi aratati exact calculul? Ca eu am umplut foi destule cu incercarea de mai jos si zau ca nu mi-a dat...

Din consideratiile d. Enescu, am luat F(-b/2a,yF), iar d:y=d sau y-d=0. Deci avem 2 necunoscute, yF si d.

Facem observatia ca -delta/4a trebuie sa fie mijlocul segmentului cu capetele in y=yF si y=d si ne mai trebuie o ecuatie.

Mai luam un punct, A, pe aceeasi orizontala cu F, ale carui coordonate pot fi determinate, yA=yF, iar a*xA^2+b*yA+c=yF.

Scriind acum ca dist(A,F)=dist(A,d) si folosind cealalta ecuatie, am dat peste o ecuatie de gradul 2 pt yF sau d, pe care am rezolvat-o de vreo 5 ori, dar ce am obtinut tot nu se 'pupa' cu cazul particular y=x^2, cind F(0,1/4) si d=-1/4.

Care-i buba, ca nu ma prind?

Multumesc.

[Citat] Dati-mi voie, va rog, sa continui sa ma fac de rusine. Ati putea, va rog frumos, sa-mi aratati exact calculul? Ca eu am umplut foi destule cu incercarea de mai jos si zau ca nu mi-a dat... Din consideratiile d. Enescu, am luat F(-b/2a,yF), iar d:y=d sau y-d=0. Deci avem 2 necunoscute, yF si d. Facem observatia ca -delta/4a trebuie sa fie mijlocul segmentului cu capetele in y=yF si y=d si ne mai trebuie o ecuatie. Mai luam un punct, A, pe aceeasi orizontala cu F, ale carui coordonate pot fi determinate, yA=yF, iar a*xA^2+b*yA+c=yF. Scriind acum ca dist(A,F)=dist(A,d) si folosind cealalta ecuatie, am dat peste o ecuatie de gradul 2 pt yF sau d, pe care am rezolvat-o de vreo 5 ori, dar ce am obtinut tot nu se 'pupa' cu cazul particular y=x^2, cind F(0,1/4) si d=-1/4. Care-i buba, ca nu ma prind? Multumesc.

Vreau sa dau doar un inceput de solutie fara a face calcule...

(I)
Sa zicem ca stim ca parabola din planul cartezian de ecuatie
Y = XX
are focarul in F(0,1/4) si varful in V(0,0)=O si directoarea de ecuatie y=-1/4.

Fie a nenul (real).
Facem schimbarea de variabile Y=ay si X=ax care trebuie vazuta ca un fel de functie "inainte si inapoi" intre doua plane carteziene "diferite". Atunci ecuatia algebrica Y = XX devine (ay) = (ax)(ax), i.e. y = a xx.
Schimbarea de variabile

pastreaza unghiurile

si apoi - ce-i drept- nu pastreaza distantele de la punct la punct si de la punct la dreapta, ci le inmulteste/imparte cu un factor constant |a|>0,
dar de atat avem nevoie pentru a vedea ca duce parabola in parabola, focarul ei in focar, directoarea in directoare. (Avem de-a face cu o dilatare/contractie (sincronizata in ambele directii x si y)).
Deoarece se corespund Y=-1/4 (directoarea 'deja stiuta') si (ay)=-1/4 deducem ca 'directoarea noua' este y = -1/(4a). Intr-adevar, putem sa verificam cu mana daca are sau nu loc echivalentza:

(Putem incerca si cu ochiul liber, de la a doua ecuatie spre prima. Parantezele cu (y-...) seamana bine una cu alta... Doar unul si unul din termeni nu corespund chiar bine. Daca il lasam pe xx pe o parte, pe cealalta dam de doua ori de 2 . y . (1/(4a)) , deci de y/a... Rscriem xx = y/a ca a xx = y.

La fel putem proceda si cu (varful si) focarul, daca scriem (X0,Y0)=(0,1/4), etc.
Fac aici propozitii pentru a intelege care este uneori problema de a transpune o substitutie intr-o functie. Relatia de substitutie (X,Y) = a(x,y) , i.e. X=ax, Y=ay , implementeaza o functie pe care trebuie sa o scriem noi in capul nostru, ca fiind o functie
f : IR x IR -> IR x IR
in primul rand, functie care duce (X,Y) in (x,y) intr-o directie
si in cealalta,
IR x IR <- IR x IR : g
ca inversa pe (x,y) in (X,Y). Care este formula pentru f de exemplu?
Deoarece trimitem (X,Y) in (x,y) si deoarece substitutia ce o facem ne spune sa consideram (x,y) = (1/a)(X,Y), rezulta ca formula pentru f este
f(X,Y) = (X/a,Y/a), ea trimite desigur F(0,-1/4) in f(0,-1/(4a)), etc.



(II)
Sa zicem ca stim ca parabola din planul cartezian de ecuatie
y = a xx
are focarul in f(a) = f(0,1/(4a)) si varful in V(0,0)=O si directoarea (d(a)) de ecuatie y=-1/(4a) .

Atunci putem incerca o alta transformare a planului care lasa distantzele pe loc, anume o translatie in speranta ca facem rost de o noua ecuatie... Facem schimbarea de variabile (cu alte litere X,Y... daca as putea folosi usor culori, as lua s,t si as vopsi X,x,s in rosu si Y,y,t in albastru)

X = (x-b/(2a)) i.e. x = (X+b/(2a))
si
Y = (y-?) i.e. y = (Y+?)

astfel incat ecuatia de plecare y = a xx se duce in
(Y+?) = a (X+b/(2a)) (X+b/(2a))

Destul de repede vedem cum trebuie sa alegem ? ca sa dam de Y =( a XX + b X + c ) si in ce puncte se duc prin translatie (inainte sau inapoi) focarul f(a) si directoarea d(a) deja calculate.
Am incercat sa dau puncte de reper pentru calcul.
Calculul l-as lasa in orice caz pe seama unui computer... (Cand ajung acasa, poate pun mana repede pe sage, trebuie sa fie ceva usor de verificat.)

(III) Tema de casa: Sa zicem ca plecam cu o cuadrica generala de ecuatie scrisa sub forma

a xx + b xy + c yy + d x + e y + f = 0 ,
x,y din IR.

unde a,b,c,d,e,f sunt numere reale ("parametrii"... si asa cum sublinia mereu Dan Barbilian, cred, e-ul NU este baza logaritmilor neperieni... este un fel de gluma prin care se separa analistii de algebristi..). Acesti noi parametrii nu au nimic de-a face cu cei de la (I) si (II).
Sa zicem ca partea de grad doi in x,y anume ( a xx + b xy + c yy ) este degenerata in sensul ca este un "patrat perfect" ( bb-4ac = 0 ) dar nu este o parte identic nula.
(Sa zicem ca "restul" nu este o functie dependenta algebric de acest "patrat perfect". Deci cazul XX +? X + ?? =0 dupa o substitutie XX = (xx+bxy+cyy)/a trebuie eliminat. (Vedem in particular cum degenereaza o parabola in doua drepte.))

Dam tot de o parabola? Ce schimbare de variabile se recomanda in acest caz (poate ca o rotatie?!) pentru a da de o forma deja cunoscuta?

[Citat] e-ul NU este baza logaritmilor neperieni...

Corect este: e-ul nu este NEAPARAT baza logaritmilor neperieni...

[Citat] [Citat] e-ul NU este baza logaritmilor neperieni... Corect este: e-ul nu este NEAPARAT baza logaritmilor neperieni...

Mai intii multumesc pentru solutie.

Mai apoi...ati ramas dator din liceu cu un raspuns, ca tot mi-am amintit acum: de ce logaritmii in baza e se numesc naturali? Dar neperieni?

Parerile mele: am vazut ca apar mai peste tot in procesele fizice obisnuite, in mecanica clasica, atunci cind procesele obisnuite sint modelate de ecuatii diferentiale ale caror solutii conduc la ln, care se scriu invers cu e... Asta sa fie motivul pt care se numesc naturali? Sau mai ne gindim si la aparitiile in natura ale lui e (ne-ati spus de o carte de Mario Livio parca, despre e si pi)... Iar 'neperieni' de la John Napier, care a descoperit logaritmii?

Multumesc, si pt parabola si pt ce mai urmeaza, anticipat.