[Citat]
solutia mea ,cred ca nu vrea nimeni sa o vada; e lunga ,pe multe cazuri si mai ales nu prea are legatura cu clasa a 6-a,pentru care e propusa problema. |
Clasa a 6-a este intr-adevar prima clasa in care se manifesta fractii si litere.
Faptul ca o problema poate fi rezolvata manipuland fractii si litere nu inseamna neaparat ca problema este chiar una apta de clasa a 6-a, mai exista si criteriul maturitatii matematice ce intra in calcul.
Faptul ca o problema poate fi rezolvata printr-o insiruire de linii pe care un compiler scolar le poate scoate una din alta in ordine din nou nu inseamna ca esenta problemei a fost inteleasa (iar daca esenta are de-a face cu sisteme dinamice si haos, poate ca aflam ceva despre calitatea celui ce a propus problema). Uneori se intampla ca problema sa fie copiata din carte in carte, tocmai pentru ca cel ce a propus-o initial a reusit sa descrie solutia in 2 randuri.
(Din cauza celor de mai sus, problema ar putea fi trimisa direct la amuzamente matematice.)
Nici solutia mea nu vrea s-o vada nimeni (am calculat descompunera unui ideal folosind sage, mirat de faptul ca un polinom homogen de grad mare s-ar putea sa depinda numai de puteri ale polinoamelor (x-y) si (x-z)...)
Dar vreau sa dau un fel de solutie din care sa se inteleaga problema si problema ce rezulta din supraestimarea celor de a 6-a.
In primul rand, de exemplu daca punem problema pe clasa a 9-a, trebuie specificat ca cautam solutia in
numere reale. (Daca lasam si numerele complexe se strica rau afacerea.)
Sa zicem ca avem o solutie (x,y,z), un triplet format din trei numere reale nenule.
Sa notam cu <a> valoarea comuna a fractiilor din ecuatiile date.
Privim de acum incolo acest a ca un fel de parametru.
Atunci in loc de (xx+xy)/y = a putem scrie xx+xy = ay, de unde putem sa-l scoatem pe y in functie de x, avem anume xx = y(a-x), deci - dupa ce controlam ca x nu are nici o sansa sa fie egal cu a :: in sfarsit ceva de clasa a 6-a - putem izola functia
Avem y=f(x), z=f(y), x=f(z), deci x,y,z nu iau valoarea a, deci putem sa ne legam numai de x in ecuatia complicata:
x = f(f(f( x ))) .
Problema data este echivalenta cu problema de mai sus - sa se gaseasca toate solutiile ecuatiei (algebrice) de mai sus. Cu calculatorul se poate factoriza imediat ecuatia (algebrica) obtinuta. Acesta este un exercitiu mamut des intalnit in manualele si culegerile de a 6-a, deci de ce nu cu mana (altuia)...
Desigur ca solutia x=y=z face ca fiecare fractie sa ia aceeasi valoare 2x, deci ne asteptam sa dam factorul comun 2x-a. De asemenea, modul in care conducem calculele ne da tot timpul pe partea cu f(x), f(f(x)), ... fractii cu numitorul si numaratorul functii omogene in a, x (si y,z) de grad total 1. Nu ne mira faptul ca dam de o ecuatie omogena la sfarsit. Deci de la inceput putem presupune ca a este 1. (Lucru mai greu de digerat pe a 6-a, dar vreau sa scriu doar o ecuatie in x. Cei ce vor <a> trebuie sa-si homogenizeze polinomul singuri.) Obtinem ecuatia echivalenta:
x = 1/2 este solutia reala ce conduce la x=y=z=a/2.
Restul nu are solutii reale. Aceasta este o problema de minim, vrem sa demonstram ca paranteza de grad 6 ia valori >0. Poate ca aici s-a gandit autorul ca avem de-a face cu o problema de clasa a 6-a. (Recunosc, intai am gasit aceasta coincidentza, apoi am tiparit solutia de jur imprejurul ei.)
Si in solutia (virtuala) de clasa a 6-a, la un moment dat trebuie folosita o inegalitate... ceva de forma
dar cu x,y,z. De aici as putea-o gasi...
N.B. (Numai de curiozitate
Care este sursa/autorul problemei?!
Access general
Conţine mesaje necitite
