Intr-o clasa sunt 30 de elevi,fiecare avand trei prieteni.Ionut si Dan,care nu sunt prieteni,vor sa formeze un sir de elevi in asa fel incat fiecare din sir sa fie prieten cu cel din fata si din spatele lui,primul din acest sir fiind Ionut iar ultimul fiind Dan.Aflati numarul maxim de elevi din care poate fi format un astfel de sir.

Raspunsuri posibile :
A) 5 elevi; B)8 elevi ; C)12 elevi; D)9 elevi E)Este posibil sa nu se poata forma un astfel de sir.

Ar mai fi de spus ca problema a fost data la un "Cangur",clasa a 4-a.

Raspunsul la grila este E) Este posibil ca multimea celor 30 de elevi sa fie reuniunea a 5 multimi de cate 6, de exemplu, cu proprietatea ca relatiile de prietenie sunt exclusiv intre elevii aceleiasi multimi.
Luam un hexagon, ducem diagonalele "mari". Orice segment intre 2 puncte reprezinta relatia de prietenie. In una din cele 5 multimi e Ionut, in alta e Dan.

Comentariu:
Super faina rezolvarea si uite asa mi-am dat seama ca,una peste alta,problema nu e rea,chiar ma gandesc sa o rezolv la scoala,cu cei mai mari...

Si acum,ca sa dau din casa,voi fi obligata sa raspund la urmatoarele intrebari:
-Mami,ce e ala hexagon?
-Ce e aia diagonala?
-De ce cate 5 in multime?

Sper sa fac fata ...

Totusi, raspunsul corect la intrebare, asa cum este formulata

[Citat] Aflati numarul maxim de elevi din care poate fi format un astfel de sir.

este 30. Este posibil ca relatiile de prietenie sa fie astfel "asezate" incat sa putem forma un sir de 30 de elevi.

Ma gandesc ca fiind tradusa din franceza,o fi acolo problema...

Ma indoiesc. De cand "Le Kangourou des mathematiques" a devenit un business al editurii Sigma (si al altora in alte tari) si nu un concurs asa cum era cand Institutul Cultural Francez il organiza...

Cred ca nu am inteles problema, poate pentru faptul ca nu am inteles ce inseamna prietenia pentru canguri si propozitia "are trei prieteni".

Daca "are trei prieteni" se traduce mai exact "are cel putin trei prieteni", atunci putem separa clasa in doua tabere dusmane de -sa zicem- 15 si 15 incat cei doi sa fie in tabere diferite si sa definim prietenia ca o relatie de echivalentza incat cele doua tabere sa fie clasele ei de echivalentza. Raspunsul e (E).

Sa zicem deci ca "are trei prieteni" se traduce mai exact "are exact trei prieteni".

(Este prietenia reflexiva?)
(Nu) mai e nevoie poate de o precizare, este posibil ca elevul x sa fie prieten cu sine si sa se numere asa intre cei 3? (Sau a ajuns deja la pubertate si a luat deja decizii importiva propriei firi...)

Daca da, (x e prieten cu x) este lucru permis, ne aranjam din nou usor cu o relatie de echivalentza cu 10 clase de echivalentza cu cate trei elemente. Raspunsul e (E).
Daca da sau nu, impartim din nou clasa in doua tabere dusmane si fiecare alege / numeste trei prieteni (cu sine cu tot daca asa ceva se impune) din aceeasi tabara.

Ce facem daca mai intrevine cerintza semantica prin care prietenia e o relatie simetrica? Dam de o problema de grafuri:

Fie N mai mare sau egal cu 4 fixat.
Fie X un graf neorientat cu N=|X| varfuri { x: x in X } si cu laturi (relatii de prietentie) {x,y}={y,x} cu x,y diferite din X. Valentza fiecarui varf este 3. (Fiecare are 3 prieteni.)
(0) Exista un asemenea X ?
(1) Este X (neaparat/intotdeauna) conex ?
(2) Daca da si da, care este lungimea maximala a unui lantz din X ce contine elemente diferite ?

Problemele (0) , (1) sunt mai exact o probleme de multimi si relatii de echivalentza.

Bun, abia aici am inteles si eu solutia de mai sus si ce inseamna "diagonalele mari", anume fatpul ca in hexagonul regulat cu varfuri (in ordina ciclica) 1,2,3,4,5,6

-23-
1--4
-65-

prietenii lui 1 sunt 3,4,5 (ce de la capatul diagonalelor "mai mari"), ai lui 2 sunt 4,5,6, etc.

(0) daca N este par, cu aceeasi idee de mai sus luam poligonul regulat cu N laturi, varfurile lui determina multimea X si cele trei diagonale de lungimi "mai mari" (cat se poate de mari) drumurile spre cei trei prieteni.
Pentru N=30 putem astfel counstrui...
- drept N = 5 ori 6 ... ca mai sus, 5 hexagoane regulate si in fiecare hexagon cu varfuri a1,a2,a3,a4,a5,a6 (a in 1 2 3 4 5) declaram ca mai sus (a1 prieten cu a3,a4,a5; a2 prieten cu a4,a5,a6; ... ) . Graful nu e conex.
- drept N = 3 ori 10 ... analog facem rost de 3 poligoane regulate cu cate 10 laturi. BGraful nu e conex.
- drept N = 1 ori 30 ... desenam un poligon regulat cu 30 de varfuri 1,2,3,... si unim 1 cu 16-1, 16, 16+1, unde 16 este varful opus varfului 1 (adunarea cu 15...) etc. Dam de un graf conex.

Ce se intampla cu cazul in care N>4 este impar?

(1) Daca N = 2ab cu a,b>1 numere naturale, putem construi un graf cu b componente conexe, fiecare componenta fiind aranjata pe suportul geometric al unui poligon regulat cu 2a varfuri.

Putem face rost de X neconex in cazurile N in { 6, 10, 14, 22, ... } sau N impar? (Pentru N=6 dam in sfarsit de o problema pentru ciclul primar- daca o traducem.)

(2) In cazul N=30 in realizarea lui X ca fiind multimea varfurilor poligonului regulat cu 30 de laturi si cu prietenia definita prin cate cele 3 trei cele mai lungi diagonale pentru fiecare varf, dam intr-adevar de un lantz de lungime 30:

1,16, 2,17, 3,18, ...