Fie P multimea punctelor din interiorul si de pe laturile unui triunghi. Poate fi P reuniunea mai multor segmente inchise si disjuncte?


Nota: 1)un punct nu e considerat ca segment
2)un segment inchis contine ambele sale capete.

Dar daca din P scoatem un punct interior?

La prima intrebare r?spunsul este da.
Fie ABC triunghiul ?i D,E mijloacele laturilor BC,AB. Fie F un punct variabil pe latura AC si G intersectia dintre DE ?i BF.
Paralela prin G la BC intersecteaz? AB in H (dac? F=A, lu?m H=E).
Segmentele închise HF sunt cele cautate (cazurile limit?: când F=C avem HF=BC, iar cand F=A, HF=AE).



Uploaded with ImageShack.us

La a 2-a intrebare raspunsul este tot da. Indicatie:



Uploaded with ImageShack.us

Indicatia e deja solutia completa.
(Partea din triunghiul ATC de mai sus - cu interior, cu [A,T), cu [A,C) dar fara latura de la T la C se acopera ca in poza de mai sus pentru triunghiul "plin" ABC, scriind B in loc de T, luand acelasi E drept mijloc al lui AT, lasand un punct H sa parcurga segmentul [ET) in timp ce omologul lui F parcurge in acelasi timp [AC) . Singura deosebire este faptul ca omitem segmentul "final" [TC] in scrierea reuniunii de "[HF]-uri".)

Raspunsul la partea a doua a fost greu de gasit/ghicit. Pana de curand am fost convins de contrariu... Multzumesc pentru problema, trebuie sa devin mai flexibil in gandire, astfel de pietre de testare a deciziei in matematica sunt foarte importante... (In definitiv ma bat cu doua conjecturi care au o problema de decizie asemanatoare...)