Calculati, va rog,

.

Multumesc.

Din lipsa de timp dau indicatia (standard) si las calculatorul sa umple detaliile pana la solutie.

Integrala data se rezolva prin substitutia standard scrisa formal:

t = tan(x/2) ;
2 arctan(t) = x ;
2 dt / (1+t^2 ) = dx .

(Notez cu tan functia tangenta, asa cum se face in toata lumea cu exceptia catorva tari.)
Cel ce face asa ceva trebuie sa fi trecut prin specificat domenii de definitie...
Nu pun accent pe asa ceva, ci doar pe calcul formal aici.

Tema de casa: Sa se demonstreze formulele
sin(x) = ( 2t ) / (1+t^2)
cos(x) = (1-t^2) / (1+t^2)

Notam cu I integrala de calculat.
Schimband formal dam de

Rog a se face acum cu mana aceasta descompunere in fractii simple in acest caz.
Dupa gust, se cauta sa se faca rost de un sistem de ecuatii liniare astfel incat sa avem

Exista doua metode pentru a face asa ceva in general. (De la caz la caz calculele se simplifica sau se complica.)

Se desfac parantezele si se identifica termenii. De exemplu in t la a treia, dand de A+C=0, sau in t la puterea zero (termenii liberi), dand de 1 = B+5D. Sa se scrie sistemul si sa se rezolva.

Se inlocuiesc pentru t valorile i (radacina a lui t^2+1) si (-1+2i) (radacina a lui...) si se identifica parti reale si complexe. A se face calculele macar pentru C si D ca exercitiu.

Ma opresc aici.

Verificari ale pasilor intermediari cu calculatorul:
Eu folosesc maxima (gratis si usor de pus chiar si pe windows), dar se pot folosi alternativ mathematica ($), maple ($) .
COD+REZULTATE

In afara de modul straniu de a defini ceva prin a folosi : in loc de =
maxima se poate invata repede, exista mii de pdf-uri pe net cu cod maxima pentru calculele de liceu si facultate.

Invatand maxima se pot incerca "mai multe schimbari de variabile", se pot verifica cam toate problemele de calcul din manuale, experienta se poate folosi si la facultate mai departe. Recomand acest lucru celor ce au afinitate fata de programare.

Desigur ca raspundul poate fi cerut maximei intr-o linie,
integrate( f , x );
avand acel f definit anterior. A fost o incercare mai grea aceea de a pune pasii la drum. Pentru cei ce inca nu sunt lamuriti la ce e buna maxima uneori in scopuri tipografice, iata poate un uz util:


(%i41) tex(I);
$$\int {{{\cos x}\over{\sin x+2\,\cos x+3}}}{\;dx}$$

(%i42) tex(J);
$$-2\,\int {{{t^2-1}\over{\left(t^2+1\right)\,\left(t^2+2\,t+5\right)
}}}{\;dt}$$

(%i43) tex( integrate( f, x ) );
$$2\,\left({{\log \left({{\sin ^2x}\over{\left(\cos x+1\right)^2}}+{{
2\,\sin x}\over{\cos x+1}}+5\right)}\over{10}}-{{\log \left({{\sin ^
2x}\over{\left(\cos x+1\right)^2}}+1\right)}\over{10}}-{{3\,\arctan
\left({{{{2\,\sin x}\over{\cos x+1}}+2}\over{4}}\right)}\over{5}}+{{
2\,\arctan \left({{\sin x}\over{\cos x+1}}\right)}\over{5}}\right)$$

Asa facusem si ca, vazind gradul 4 la numitor, nu mi-a mai trecut prin cap sa fac descompunerea si apoi despartirea fractiilor metoda o cunosc, multumesc pentru raspuns.