As dori, daca imi puteti da o idee de rezolvare pentru urmatoarea limita:


Problema se gaseste in:
Culegere de probleme de matematica pentru admitere la Universitatea Politehnica Timisoara

Ce mai simplu e cu l'Hospital:

Solutia de mai sus este de asemenea cea pe care o recomand.
Doar pentru a avea poate o intelegere mai buna a ceea ce se intampla (si pentru a evita la primul pas introducerea unui "zerou de ordin doi in numitor" in valoarea critica 1) dau o solutie alternativa. (Din cauza "trucajelor" nu e cea didactica.)

Notam cu L(m,n) limita ceruta.
Un artificiu ce ne ajuta sa limitam calculele este spargerea/observatia:
L(m,n) = L(m,1) - L(n,1) .

De aceea ne indeletnicim cu calculul lui L(m,1) doar, caz in care putem da factor comun (1-x) in numitor..

Deci L(m,n) = L(m,1)-L(n,1)=(m-1)/2 - (n-1)/2 = (m-n)/2 . In sfarsit am terminat.

La facultate uneori cele de mai sus se pot rezolva cu un asa-zis "O-calcul" , lucru care in Romania ar trebui sa fie un lucru subinteles cu atat mai mult cu cat divizibilitatea (calculul modulo un numar natural) este deja peste tot prezenta. Ei bine, "O-calculul" este tot un tip de calcul modulo ceva.
Mai jos pentru exemplificare va fi calculul modulo h^2 (cu totul, sau sub paranteza modulo h^3). Deoarece x->1 in limita preferam sa notam x=1+h sau echivalent h=x-1. Este doar o problema psihologica. Atunci putem scrie (dezvoltare in serie Taylor - sau mai degraba Laurent)

de aceea pentru h->0 (i.e. x->1) obtinem limita (m-n)/2.
(Egalitatile de mai sus sunt cam formale.) Prin postare am incercat doar sa fac un fel de trecere prin continuitate de la liceu la facultate, pentru cei de la facultate (matematici speciale) formula lui Taylor poate este mai accesibila.
Calculatorul imi da...

sage: var('m,h')
(m, h)
sage: ?taylor
sage: taylor ( m/(1-x^m), x, 1, 2)
1/24*(x - 1)^2*(m^2 - 1) - 1/12*(x - 1)*(m^2 - 1) + 1/2*m - 1/(x - 1) - 1/2
sage: taylor ( m/(1-(1+h)^m), h, 0, 2)
1/24*(m^2 - 1)*h^2 - 1/12*(m^2 - 1)*h + 1/2*m - 1/h - 1/2
sage: taylor ( m/(1-(1+h)^m), h, 0, 0)
1/2*m - 1/h - 1/2
sage:

Ce-i drept nu sunt aranjati coeficientii cum trebuie, dar tot la (m-1)/2 - 1/h se ajunge. (Mai sus am mai cerut mai intai si termenii urmatori din dezvoltare...)