Fie a un num?r natural nenul ?i fie P(x) un polinom cu coeficien?i întregi a?a încât

P(1) = P(3) = P(5) = P(7) = a
?i
P(2) = P(4) = P(6) = P(8) = -a


Care este cea mai mic? valoare a lui a?

Acestea îmi sunt variantele oferite:
A: 105
B: 315
C: 945
D: 7!
E: 8!

Eu am g?sit

?i

unde

este termenul liber al polinomului.
De aici a = 3(35r + 4l). unde k, l ?i r sunt numere întregi.

Pentru l = 0 ?i r = 1 ob?in a = 105, Dar de ce n-a? putea lua l = 9 ?i r = -1 pentru a ob?ine a = 3?

Apreciez orice ajutor!

Mul?umesc!

C.A.

Polinomul de grad minim care verifica acele conditii este (Lagrange)

,
deci valoarea cautata este 315.

dar polinomul

unde

nu verifica?

[Citat] dar polinomul unde nu verifica?

Ave?i impresia c? ?sta e polinom?

[Citat] dar polinomul unde nu verifica?

Probabil acel

nu prea se incadreaza la polinoame.

CORECT! mea culpa! dar daca zic

unde

au aceeasi paritate?

De fapt, pornind de la ideea lui petrebatranetu am g?sit o solu?ie mai elegant?:
polinomul P(x) - a are patru r?d?cini: 1, 3, 5, 7 , deci

unde Q(x) este câtul împ?r?irii lui P(x) - a la

?i este un polinom cu coeficien?i întregi.

2 ?i 105 fiind prime între ele, avem c? a este multiplu de 105

Analog pentru P(6) , P(4) , P(2) ob?inem c? a este multiplu de 15 ?i de 9.

A?adar a este multiplu al celui mai mic multiplu comun dintre 105 , 15 ?i 9. Adic? a este multiplu de 315. Cel mai imc num?r pozitiv cu aceast? proprietate este 315.


C.A.

Nu chiar. Sigur ca la acest demers m-am gandit prima data. Rezulta in mod necesar ca

se divide cu 315, dar nu putem fi siguri ca pentru aceasta valoare a numarului chiar exista un polinom cu coeficienti intregi si cu proprietatile cerute.
Daca, de exemplu, gasind alte "trucuri" deducem ca e necesar ca

sa se divida cu 945?

Apropo, rezultatul de mai sus se poate obtine si folosind urmatoarea (utila) lema: daca P are coeficienti intregi si a,b sunt numere intregi, atunci P(a)-P(b) se divide cu a-b.

[Citat] CORECT! mea culpa! dar daca zic unde au aceeasi paritate?

Glumi?i cumva?