In trapezul isoscel ABCD lungimea bazei BC este 5cm, lungimea bazei AD este 9cm. Punctele P si Q se afla pe diagonala BD, astfle incit P?[BQ], iar segmentele AP si CQ sunt perpendiculare pe diagonala BD. Sa se afle aria trapezului ABCD, stiind ca QD/BP = 5



---
LoveSun

[Citat] In trapezul isoscel ABCD lungimea bazei BC este 5cm, lungimea bazei AD este 9cm. Punctele P si Q se afla pe diagonala BD, astfle incit P?[BQ], iar segmentele AP si CQ sunt perpendiculare pe diagonala BD. Sa se afle aria trapezului ABCD, stiind ca QD/BP = 5

M-am gandit mai mult timp ce solutie sa recomand, astfel incat punctul de a apuca problema sa fie cat mai clar. Pana la urma m-am decis pentru urmatoarea solutie:

Pentru a calcula aria avem fara indoiala nevoie de inaltimea trapezului.
O notam cu h si incercam sa scriem ecuatii ce au de-a face cu h.
Din pacate, nu exista o ecuatie in h pe care sa o scriem si apoi sa o rezolvam.
De aceea ne uitam la toate segmentele ce ne pot ajuta sa descriem (intermediar sau direct) conditia data QD = 5 BP. Daca nu vedem nimic, luam mai multe, le notam cu cate o litera si incercam sa le includem in ecuatii.

O posibilitate complet nedigerata ar fi sa introducem literele
a=AD=9, b=BC=5, d=BD, BB'=CC'=h unde B',C' sunt inaltimile din B,C in trapezul ABCD, u=BP, v=PQ, w=QD, x=AB=CD, deci sa introducem necunoscutele d,h,u,v,w,x si sa scriem toate relatiile algebrice pe care le stim/vedem. Avem nevoie de 6 relatii algebrice independente. Rog a se incerca de aici cu propriile puteri...
Cateva relatii sunt imediate. (Notez cu xx patratul lui x, ca in cartile din evul mediu.) De exemplu:

a=9
b=5
xx = hh + ((a-b)/2)^2
dd = hh + ((a+b)/2)^2
u+v+w = d
xx - uu = aa - (v+w)^2 cu valoarea comuna AP^2
xx - ww = bb - (v+u)^2 cu valoarea comuna CQ^2
5 u = w

Calculatorul rezolva desigur fara probleme sistemul de mai sus.
De fapt omul ar trebui sa rezolve (in IR) ceva mai repede chiar.
Nu este mult pana ne dam seama ca de fapt ne descurcam repede si bine cu doar cateva dintre ecuatiile de mai sus.

Este poate bine sa pun calculatorul la lucru pentru a vedea care este
raspunsul:

Rog a se rezolva cu mana...

Desenez figura.
Notez: E = punctul in care AP intersecteaza BC;
F = punctul in care CQ intersecteaza AD.

Triunghiurile QDF si PBE sunt asemenea (cazul U.U.)si raportul de asemanare este DQ/BP = 5.
Daca notez BE = x, atunci, din asemanarea celor doua triunghiuri, avem DF = 5x.
FA = 9-5x, EC = 5- x.
Dar, ECFA este paralelogram (laturile opuse sunt paralele),
Atunci, FA=EC, adica 9-5x = 5-x, de unde rezulta x=1
Revenind la figura, determinam : FA=4, DF=5
Patrulaterul DFBC este romb (paralelogram cu diagonalele perpendiculare).
Deci, CD=DF=5.
Trapezul este isoscel, atunci : AB=CD=5
Am determinat lungimile celor 4 laturi ale trapezului.
Se poate determina, facil, inaltimea, iar apoi aria .
Sau :