Bun? ziua!

Pentru prima mea post-are pe acest forum am ales o problem? care mi-a atras aten?ia de câteva zile:

Fie D un disc închis. Se aleg la întâmplare punctele A,B,C apar?inând discului a?a încât probabilitatea ca cele trei s? formeze un triunghi este 1. Care este probabilitatea ca cercul circumscrs triunghiului ABC s? fie inclus (sper c? nu mai trebuie s? adaug ?COMPLET?) în discul D.

Observa?ia 1: Dup? câteva mii de implement?ri numerice pe discul unitate probabilitatea ?se învârte? în jurul valorii

.

Observa?ia 2: În încerc?rile mele ?cu pix ?i hârtie? m-am gândit s? trec aten?ia de la cele trei puncte la centrul ?i raza cercului circumscris triunghiului ABC. Fie R ---> raza discului ?i r ---> raza cercului circumscris lui ABC. Dac?

probabilitatea este 0. Dac?

atunci centrul cercului circumscris lui ABC poate fi la distan?a maxim? de

fa?? de centrul discului, pentru ca cercul circumscris s? fie inclus în disc. Totu?i, pentru a acoperi toate cazurile posibile: centrul cercului circumscris lui ABC poate fi ?i în afara discului pân? la distan?a de de

fa?? centrul discului. Dac? distan?a între cele dou? centre este mai mare sau egal? decât

atunci probabilitatea este din nou 0. ?i atunci, o probabilitate care va ap?rea în mod cert în probabilitatea total? este [aria_cercului_de_raz?_R-r] / [aria_cercului_de_raz?_R+r] =

.
Mai departe putem considera c?

unde p este din (0;1]
==>

Mi se pare o întrebare foarte interesant? ?i apreciez orice ajutor, indiferent dac? ideea mea de pornire a fost bun? sau nu, dac? se poate folosi sau nu, dac? se poate corecta sau nu, ?i indiferent dac? r?spunsul este

sau nu.


V? mul?umesc!


C.A.

Întrebarea este:

Fie D un disc închis. Se aleg la întâmplare punctele A,B,C apar?inând discului a?a încât probabilitatea ca cele trei s? formeze un triunghi este 1. Care este probabilitatea ca cercul circumscrs triunghiului ABC (dac? exist?) s? fie inclus în discul D.

Am t?iat pu?in din enun?ul original, parc? acea formulare nu e potrivit?.

Putem presupune c? discul eset de raz? unu. Mul?imea C a cazurilor favorabile este o mul?ime în spa?iul de dimensiune ?ase. Probabilitatea este egal? cu

unde

este m?sura (Lebesgue) corespunz?toare iar fiecare din integrale este integral? dubl?. Dac? fix?m dou? puncte

în interiorul discului atunci definim

mul?imea punctelor

din disc cu proprietatea c? cercul circumscris corespunz?tor este în interiorul discului. Mul?imea acestor puncte arat? astfel:



Atunci probabilitatea este:

M?rturisim c? nu prea ne vine s? calcul?m explicit cele de mai sus, îns? pare posibil. Odat? ce calcul?m func?ia de sub integral? putem trece la coordonate polare. S-ar putea s? avem noroc.