Sa se determine toate numerele naturale

pentru care ecuatia

are solutii intregi.

[Citat] Sa se determine toate numerele naturale pentru care ecuatia are solutii intregi.

Pentru n par membrul stang este evident strict pozitiv. Pentru n impar,
dezvoltarea sumei

are numai termeni pozitivi, deci nu exista solutii REALE.

[Citat] Sa se determine toate numerele naturale pentru care ecuatia are solutii intregi.

Editat. :D

Si dupa editare, n par trebuie exclus ca mai sus.
n impar mai are doar o sansa.
Excudem repede valorile x=0 si x=-1 si x=-2, ca sa nu le mai pomenesc.

Rezulta mai departe x<0 , deoarece altfel |x+2| va domina |2-x| si avem o minorare evidenta care ne arata ca expresia e intotdeauna >0.

Ne uitam la ecuatia ce trebuie sa o rezolvam in numere intregi echivalent prin cautarea unei radacini intregi a unui polinom monic de grad n in x cu coeficientul liber egal cu 2 la puterea (n+1). Radacina x este deci de forma

x = -4A

unde A este o putere a lui 2. (Pe x egal cu -1 sau -2 l-am exclus deja.)
Daca cumva A este divizibil cu 2, atunci impartind cu (2^n) si luand totul modulo 4 dam de o contradictie. Deci A=1.

Ramane sa mai cautam n impar cu (-4)^n + (-4+2)^n + (2-(-4))^n = 0.
Impartim cu 2^n si cautam n impar cu -2^n -1 + 3^n = 0 .

n=1.