Intr-un triunghi cu lungimile laturilor de 3 cm, 4 cm si 6 cm, este dusa mediana corespunzatoare laturii mai mari. Sa se afle cosinusul unghiului format de mediana cu latura mai mica a triunghiului


---
LoveSun

[Citat] Intr-un triunghi cu lungimile laturilor de 3 cm, 4 cm si 6 cm, este dusa mediana corespunzatoare laturii mai mari. Sa se afle cosinusul unghiului format de mediana cu latura mai mica a triunghiului --- LoveSun

Prima etapa: aflati mai intai lungimes medianei si postati-o aici pentru verificare.

[Citat] [Citat] Intr-un triunghi cu lungimile laturilor de 3 cm, 4 cm si 6 cm, este dusa mediana corespunzatoare laturii mai mari. Sa se afle cosinusul unghiului format de mediana cu latura mai mica a triunghiului --- LoveSun Prima etapa: aflati mai intai lungimes medianei si postati-o aici pentru verificare.

Am aflat lungimea medianei = 1.87. Apoi, cu ajutorul teoremei cosinusului, am aflat si cosinusul unghiului. Merci mult pentru sugestie. Problema nu e asa de grea, pur si simplu am gresit calculele.

Si fara lungimea medianei se poate rezolva. Se formeaza , acolo, un triunghi isocel ABM, AB=BM=3

[Citat] Si fara lungimea medianei se poate rezolva. Se formeaza , acolo, un triunghi isocel ABM, AB=BM=3

Inteleg ca triunghiul dat este triunghiul ABC cu laturile:
AB=3
BC=6
AC=4
Luam M mijlocul lui BC, deci piciorul medianei din A.
Fara sa vrem avem deci un triunghi isoscel ABM.
Cum ii aflam unghiul din A (sau cosinusul lui mai exact) daca nu calculam AM?
(Sper ca nu vrem sa aplicam Heron in ABC, pentru a da de aria lui ABC, deci de a lui ABM si astfel sa folosim marea coincidenta a unui triunghi isoscel dat in problema, in plus incepem o problema mai grea acum. Altfel nu am nici o idee cum pot sa-l folosesc pe acel 4.)

Ideea de solutie prezentata mai sus, calculul medianei din A, este in plus cea ce se aplica foarte usor in cazul general. Didactic astfel de preferat.
(Din partea mea se poate lua A' simetricul lui A fata de M si ne legam de patrulaterul = paralelogramul ABA'C, ii calculam cealalta diagonala, dar acest lucru e o rescriere a calculului medianei. Avem nevoie doar de formula lui Pitagora generalizata, de exemplu. Dar e aceeasi solutie.)

ABM=isoscel, AB= BM=3 => Unghiurile din A si M sunt congruente ;
vom nota u= masura lor comuna si in ABM => cos2u =-cos B
Se calculeaza cosB din ABC.
Deci, lungimea medianei nu este, in acest caz,necesara.

Sa comparam atunci solutiile:

Notam in ambele cazuri cu x cosinusul cerut.

(1) In paralelogramul ABA'C cunoastem laturile, 3 si 4, impreuna cu o diagonala, 6. Fie d cealalta diagonala. Atunci (de doua ori Pitagora generalizata sau un fel de "polarizare"):

d^2 + 6^2 = 2( 3^2+4^2 ) .

Rezulta d egala cu radical din 14.
Din Pitagora in ABA' avem direct:

x = ( 9+14-16) / (2.3.d) = 7 / (2.3.d) = radical(14)/12 .

(2)
1-2xx = -cos(2u) = cos(B) = (3^2+6^2-4^2) / (2.3.6) = 29 / (2.3.6) .
Deci
2xx = 1 - 29/(2.3.6) = (36-29)/(2.3.6) = 7 / (6.6) , deci
x = radical(14)/12 .

Comparatie:
(2) este ceva mai scurta, macar poate fi paginata mai scurt.
Stiind ca exista si (2) se merita a se intelege si aprofunda. Intr-o olimpiada, a da (1) si (2) poate conduce la o departajare sensibila.
(2) necesita in bac luarea timpului pentru a specifica ce triunghi este isoscel si ce relatii avem intre cos( 180-? ) si cos( ? ) respectiv cos( 2u) fata de cos(u).
Deoarece eu nu am vazut aceasta solutie, este posibil ca si alti corectori sa nu o vada. Nu va puneti cu unii corectori in cazul in care acestia au depunctat deja curajos. (Eu dau desigur toate punctele.)
Orice greseala de calcul este considerata a fi grava, deoarece paginarea nu este usor de gasit la adunarea argumentelor.

(1) este solutia pe care o astept intr-un barem. Este si solutia generala, care de exemplu se da pentru 11, 13, 19 la fel ca pentru 3,4,6 .
Greselile de calcul sunt tolerate mai mult, deoarece solutia se bazeaza doar pe teorema generalizata a lui Pitagora.
Daca nu se mentioneaza / pomeneste de Pitagora nicaieri, ci doar se aplica, acest lucru anume in bac, pot apare depunctari majore.