Gasiti valorile lui m pentru care ecuatia

are radacinile in progresie geometrica.
Am folosit ca, daca-s in progresie, o conditie necesara este

si cu relatiile Viete se gaseste usor ca
singurele valori pentru m sunt 15 si -15.
Dar conditia utilizata e doar necesara, nu si suficienta.
Pentru m=15 se rezolva ecuatia si radacinile dau in progresie
Dar pentru -15 solutiile sunt complexe si cam urate, si nu mi-am dat seama daca-s in progresie sau nu.(trebuie sa scot radacina patrata din doi de delta complecsi)
Este si -15 solutie la problema sau nu?

Conform programei, notiunea de progresie aritmetica se refera exclusiv la siruri de numere reale.

[Citat] Conform programei, notiunea de progresie aritmetica se refera exclusiv la siruri de numere reale.

Adica nu exista progresie cu termeni numere complexe?

M-am uitat mai atent la problema si cred ca ati confundat progresia geometrica cu una aritmetica.

Oricum, si progresiile geometrice sunt definite pentru siruri de numere reale, conform programei.

[Citat] M-am uitat mai atent la problema si cred ca ati confundat progresia geometrica cu una aritmetica. Oricum, si progresiile geometrice sunt definite pentru siruri de numere reale, conform programei.

Da, ma scuzati, aveam mai multe probleme, asta era cu progresie geometrica, nu aritmetica.
In orice caz, nu vad ce s-ar schimba intr-o progresie de numere complexe fata de una de numere reale. Cred ca raman valabile aceleasi formule. Doar nu e vorba de limite sau derivate sa se complice lucrurile.

PS: Nu stiu ce fel de Latex are site-ul asta, dar e de-a dreptul ciudat. Am editat relatia, am pus produs, dar imi afiseaza tot suma ?!

[Citat] Da, ma scuzati, aveam mai multe probleme, asta era cu progresie geometrica, nu aritmetica. In orice caz, nu vad ce s-ar schimba intr-o progresie de numere complexe fata de una de numere reale. Cred ca raman valabile aceleasi formule. Doar nu e vorba de limite sau derivate sa se complice lucrurile.

Formulele sigur raman valabile. E doar o chestie de conventie.

[Citat] PS: Nu stiu ce fel de Latex are site-ul asta, dar e de-a dreptul ciudat. Am editat relatia, am pus produs, dar imi afiseaza tot suma ?!

Trebuie sa faceti un refresh al paginii.

[Citat] Gasiti valorile lui m pentru care ecuatia are radacinile de forma a, ar, arr, arrr cu numerele a si r complexe.

Scriind relatiile lui Viete pentru ecuatia data dam de:

(1) (aa rrr)^2 = 64, deci exista un semn s (fie +1, fie -1) cu
(1') aa rrr = 8s,

(2) aaa rrr( 1+r+rr+rrr ) = 120 si

(3) aa( 1+r+rr +2rrr +rrrr +rrrrr ) = 70 .

Noi trebuie sa rezolvam ecuatia pentru valorile lui m ce intra in discutie ca
m = a( 1+r+rr+rrr ) .

Din (1) si (2) rezulta desigur ca (a si r nu sunt nule si ca) m este
m = 120 / (8s) , de unde doar sansele cu +15 si cu -15.

Nu am folosit insa sub nici o forma informatia din (3) !
Cum am putea-o folosi?

Desigur ca putem elimina variabila a intre (1) si (2), la fel intre (1) si (3) incercand a nu uita de semnul s daca se poate in cel putin una din eliminari.

Din "(1') la a treia" si "(2) la patrat" facem rost de o ecuatie in r.
Din (1') si (3) facem rost de o alta ecuatie in r.

In ce caz au cele doua ecuatii (polinomiale) o radacina comuna?
Folosind calculatorul (sagemath liber pe www.sagemath.org):

sage: var( 'a,r,s' )
(a, r, s)
sage: eq1 = ( a^4*r^6 == 64)
sage: eq2 = ( a^3*(r^3+r^4+r^5+r^6) == 120 )
sage: eq3 = ( a^2*(r+r^2+2*r^3+r^4+r^5) == 70 )

sage: solve( [eq1, eq2, eq3], a,r )
[[a == 8, r == (1/2)], [a == 1, r == 2]]

sage: # cele de sus puteau fi scrise oricum, in plus
sage:
sage: eq1^3
a^12*r^18 == 262144
sage: eq2^4
(r^6 + r^5 + r^4 + r^3)^4*a^12 == 207360000
sage: eq3^2 / eq1
(r^5 + r^4 + 2*r^3 + r^2 + r)^2/r^6 == (1225/16)

sage: eq2^4 / eq1^3
(r^6 + r^5 + r^4 + r^3)^4/r^18 == (50625/64)
sage: eq4 = eq2^4 / eq1^3
sage:
sage: eq3^2 / eq1
(r^5 + r^4 + 2*r^3 + r^2 + r)^2/r^6 == (1225/16)
sage: eq5 = eq3^2 / eq1

sage: # eq5 este simetrica, substituim t = r+1/r si introducem
sage: var( 't' ) ;
sage: eq6 = ( (t^2-2) + t + 2 == + sqrt( 1225/16 ) )
sage: eq6
t^2 + t == (35/4)
sage: solve( eq6, t )
[t == (5/2), t == (-7/2)]
sage: eq7 = ( (t^2-2) + t + 2 == - sqrt( 1225/16 ) )
sage: solve( eq7, t )
[t == -1/2*I*sqrt(34) - 1/2, t == 1/2*I*sqrt(34) - 1/2]
sage:
sage: eq4.factor()
(r + 1)^4*(r^2 + 1)^4/r^6 == (50625/64)
sage:
sage: # impart mai sus acel r^6 la factori, incat sa fac rost de acelasi t...
sage: # (r+1)^2/r este (r^2+2*r+1)/r care este t+2 . dau de ecuatia...
sage:
sage: eq8 = ( (t+2)^2 * t^4 == 50625/64 )
sage: # si aici pot merge cu incetinitorul,
sage; # extragand radicalii introdusi neglijent...
sage: # dar prefer direct..
sage:
sage: solve( eq8, t )

solutiile sunt mai greu de listat aici, doar dintre cele de sus mai regasesc doar solutia t=5/2 . Dam desigur de r=1/2 sau de r=2, etc.
Cele de mai sus incearca sa arate in acelasi timp cum se rezolva cu mana respectiv cu calculatorul problema data (si nu care este drumul cel mai scurt)...