Fie ABC un triunghi isoscel cu masura unghiului A de 80 de grade. Se considera un punct D in interiorul triunghiului ABC astfel incat masura lui DBC este de 40 de grade si masura lui DCB este de 20 de grade. Sa se determine masura lui ADC.

[Citat] Fie ABC un triunghi isoscel cu masura unghiului A de 80 de grade (cu unghiurile din B si C congruente). Se considera un punct D in interiorul triunghiului ABC astfel incat masura lui DBC este de 40 de grade si masura lui DCB este de 20 de grade. Sa se determine masura lui ADC.

In urmatoarea figura am "incadrat" triunghiul isoscel dat ABC cu unghiurile (din ABC)
A de masura 80 de grade
B de masura 50 de grade si
C de masura 50 de grade

intr-un triunghi echilateral cu varful in S cu unghiurile (din SBC din el) (desigur de)
S de masura 60 de grade
B de masura 60 de grade si
C de masura 60 de grade

si deoarece problema data se leaga de trisectoarele de unghiurile bazei B, C din SBC, am construit si muntele mai mic, TBC, triunghi isoscel cu unghiurile din el de marimi
T de masura 100 de grade
B de 40 de grade
C de 40 de grade.

In figura de mai sus, D este pe BT astfel incat CD este pe bisectorarea (din B a) unghiului TCB de 40 de grade, iar A este pe bisectoarea (din C a) unghiului TCS. Aplicand teorema bisectoarei in cele doua triunghiuri, tinand in plus cont de faptul ca SBC este echilateral, rezulta ca avem intr-o linie:

AS : AT = CS : CT = CB : CT = DB : DT .

Thales ne spune acum ca AD si BS sunt paralele.
Unghiul ADT are deci ca si SBT masura de 60-40 = 20 de grade.

Unghiul TDC, exterior fata de BDC, (40+20) de grade.

Unghiul ADC are deci 20+(40+20) de grade.

Sa consideram acum si alta problema "invecinata".
(Acest lucru l-am aflat tot undeva pe pro-di...)

Plecam cu un cerc de diametru AA'desenat vertical pe hartie.

Impartim semicercul din stanga hartiei in noua bucati mai mici, punctele ce le introducem pe acest semicerc sunt
A = B0,
apoi B1, B2, ... , B8
si la sfarsit A' = B9 .

Impartim semicercul din dreapta hartiei in noua bucati mai mici, punctele ce le introducem pe acest semicerc sunt
A = C0,
apoi C1, C2, ... , C8
si la sfarsit A' = C9 .

Apar multe puncte, dar noi ne vom lega doar de cateva din ele.
Fie B = B5.
Fie C = C5.

Dreptele (B5,C1) si (C5,B3) se taie intr-un punct D.

Sa se arate ca A,D si B6 sunt coliniare.