nu prea cred povestea cu necumutativitatea...

Cum gasim un astfel de exemplu?

Ma gandesc ca solutia Dvs. merge si intr-un caz mai general.

Lucrurile sunt deja incheiate, dar mai scriu ceva aici pentru Ionutz.

Folosesc calculatorul pentru a investiga mai bine grupul dat.
Grupul dat are un nume in matematica, este grupul matricilor unipotente superior triangulare de marime 3x3 peste corpul cu 3 elemente. Cuvantul "unipotent" este o prescurtare care lasa de dorit a combinatiei "unitate plus ceva nilpotent".

Din acest mod, voi folosi litera U pentru grupul dat.
Calculatorul ne permite repede sa descifram toata structura grupului dat.
El are desigur 27 de elemente. Scriu cod, spun ce face, apoi arat ce se obtine prin "rulare" (copy+paste in interpreterul sage).

F = GF(3)
U12 = matrix( F, 3, 3, [1,1,0, 0,1,0, 0,0,1] ) ; U12
U23 = matrix( F, 3, 3, [1,0,0, 0,1,1, 0,0,1] ) ; U23
N = matrix( F, 3, 3, [1,1,0, 0,1,1, 0,0,1] ) ; N
U = MatrixGroup( [ U12, U23 ] ) ; U
U.cardinality()
U.order()
ZU = U.center()
ZU.order()
ZU
U.module_composition_factors()
# U.module_composition_factors( method = 'verbose' )

UN = MatrixGroup( [ N ] ) ; UN
UN.order()
UN.center().order()

U.cayley_table()

# trecem la un grup in care sa putem lucra "mai bine"

G = U.as_permutation_group()
G.order()
G.is_abelian()
G.is_simple()
G.upper_central_series()
ZG = G.center()
ZG.is_normal(G)
ZG.order()
ZG
Q = G.quotient(ZG)
Q.order()
Q.is_abelian()
Q.upper_central_series()

Mi-am dat corpul F a fi corpul general (general field) cu trei elemente, unic pana la un izomorfism (unic.) Stiu ca grupul nostru, U (in loc de G ca in enunt), este generat de cele doua matrici unipotente
U12 = I + E12
U23 = I + E23
ce corespund "radacinilor" E12 si E23 din algebra Lie (spatiul tangent in I, identitate, la grupul U dat.) Mai tarziu am considerat doar in joc si matricea
N = I + E12 + E23
deoarece ea satisface NNN = I, generand astfel usor un (sub)grup cu 3 elemente.

Mi-am asociat U ca grupul generat de U12 si U23, masina calculeaza tot ce poate genera si da de 27 de elemente (cardinalitatea ca multime sau ordinul ca grup).
Deci U12 si U23 genereaza U, cel putin prin argumentul calculatoriu.

Problema noastra era de a vedea daca U este comutativ. Ei bine, o informatie si mai precisa putem s-o obtinem cerand centrul lui U, adica submultimea elementelor z a lui U, care individual comuta cu orice alt u din U, i.e.
Z = { z din U : pentru orice u din U are loc zu=uz }

Masina de calcul ne spune ca sunt doar trei astfel de elemente.
Deci U este "relativ departe" de comutativitate. Computerul ne-a si spus care este acest centru, el este generat de matricea I+E13, iar elementele lui sunt desigur
Z = { I, I + E13, I + 2 E13 } .

Un alt subgrup (comutativ) cu trei elemente, dar care sta "altfel" in U este grupul generat de N, el are trei elemente, I, N, NN.

Intrebare: Ce grup genereaza matricea U12? (respectiv U23)

Daca vrem sa vedem tabloul de multiplicare... nici o problema.
Problema intervine cand incercam sa-l citim...

Un grup in care masina de calcul lucreaza mai bine, este grupul de permutari asociat. Sage vine cu help corespunzator (mai lung decat ceea ce redau..)

Help on method as_permutation_group in module
sage.groups.matrix_gps.matrix_group:

as_permutation_group(self, method=None) method of
sage.groups.matrix_gps.matrix_group.MatrixGroup_gens_finite_field_with_category instance
This returns a permutation group representation for the group. In
most cases occurring in practice, this is a permutation group of
minimal degree (the degree begin determined from orbits under the
group action). When these orbits are hard to compute, the procedure
can be time-consuming and the degree may not be minimal. The
"method=smaller" option tries return an isomorphic group of lower
degree.

Pe acesta il notez cu G.
Elementele lui G se reprezinta foarte simplu ca produs de ciclii disjuncti.
Lungimea ciclilor divide ordinul lui G, care este 27. Deci ne asteptam la ciclii (netriviali) de lungime 3,9 si 27. Vom vedea ca nu apar cazuri "complicate" cu lungimea 9 sau 27.

Pentru astfel de grupuri se pot determina foarte usor (cu sage) proprietati interesante, de exemplu comutativitatea, daca avem de-a face cu un grup solubil, grupul de comutatori si faptul ca el coincide sau nu cu tot grupul ("simplicitatea"), etc.

Cerem centrul lui G. El are (ca si pentru izomorful lui, U) trei elemente. Acest centru este un subgrup normal. Putem forma catul. Catul are noua elemente, deci este fie grup comutativ ciclic cu noua elemente, deci izomorf cu ZZ/9, fie grup comutativ ciclic produs de doua grupuri (ZZ/3)x(ZZ/3), fie ceva mai complicat. Construim asadar catul si intrebam masina daca dam de ceva comutativ. Masina ne spune ca da si ne da si structura acestui cat, daca vrem.

Ma opresc aici, unde de fapt poate incepe incercarea de generalizare.
Rezultatele "rularii":
titlu