Numerele

sunt in progresie geometrica daca si numai daca:

Nu reusesc sa fac aceasta problema. Metoda de rezolvare ceruta este inductia, reusesc prima parte sa o rezolv, insa ma incurc la P(k)=>P(k+1)

Va multumesc mult !!!

Inegalitatea Cauchy-Schwarz (C-S) pentru doi vectori X,Y dintr-un spatiu euclidian (IR^N) se poate scrie simplu sub forma:
|X| |Y| >= |<X,Y>|
si raportul este definitia unei functii trigonometrice (cos) a unghiului dintre vectorii n-dimensionali X si Y. Egalitatea are deci loc daca si numai daca X si Y arata in aceeasi directie, deci daca si numai daca componentele lor sunt respectiv proportionale.

Exista desigur si o demonstratie prin inductie a acestei inegalitati.

Problema se termina daca avem voie sa folosim C-S, aplicand ceea ce stim despre cazul in care are loc egalitate pentru
X = ( x1, x2, ... , xn ) si
Y = ( x2, x3, ... , x(n+1) ) .

Studiati va rog demonstratia prin inductie (una dintre cele mai ciudate dupa parerea mea) a inegalitatii C-S.

Demonstratia pe care o prefer eu pentru C-S
cu vectorii X=(x1,x2,...,xn) si Y=(y1,y2,...,yn)
este de a lua o variabila noua, de exemplu t, de a scrie faptul ca functiile de gradul II in t date de
t -> (t x1 + y1)^2
t -> (t x2 + y2)^2
:
t -> (t xn + yn)^2
sunt mai mari sau egale cu zero, deci si suma lor, deci dam de o functie (suma) de gradul doi in t care are discriminant mai mic sau egal cu zero si stim exact cand acesta este zero (-anume cand exista un t bun pentru toate anularile-), iar scriind cine este discriminantul dam de C-S.

(Un mod de fortat de a folosi inductia este acum de a ne da o litera k si de a demonstra A(k) => A(k+1) aratand ca A(k) si A(k+1) sunt adevarate, deci ca si cum am demonstra acelasi lucru cu rigla si compasul, incepand prin a imparte pagina in doua cu rigla si de a incercui formula discriminantului cu compasul. Acest lucru nu este neaparat gandit pentru a face ecran panaramic din unele probleme, este doar un fapt istoric indragit de cei din generatiile Titeica si Barbilian.)