Daca log60(3)=m si log60(5)=n sa se calculeze in functie de m si de n numarul E=log3(4)+log12(2).


Alt exercitiu:
daca log in baza sin(x) din cos(x)=a ,unde x apartine(o,pi/2)\{pi/4},sa se calculeze log in baza tg(x) din sin(2x)/2

multumesc mult!

[Citat] Daca in functie de m si de n.

Dragi elevi, cel ce propune o astfel de problema nu a inteles sensul matematicii.
De asemenea, cel ce o gaseste intr-o culegere si o da mai departe la clasa nu a inteles nici sensul matematicii, nici ca cel cu culegerea nu l-a inteles.
Matematica este in orice caz alta.

Presupun astfel ca cineva a gasit problema asta undeva si motivul este doar curiozitatea...

Acum despre problema propusa.
Cu logaritmii nu avem proprietati deosebite in afara celor ce spun ca "logaritm de inmultire de numere se duce in adunare de logaritmi de numere".
Deoarece numerele date sunt aritmetic legate de numerele prime 2,3 si 5 este bine sa ne legam de acesti "atomi".
Cu riscul de a devia, iata o relatie pe care fratele meu si-a muncit si castigat (in repetate randuri in acelasi loc) o paine modesta:

Bun. Problema a fost pusa probabil cu aceasta capcana in minte.

Avand in vedere ca stim tot ce nu putem, trebuie sa ne legam de ce putem. Transformam toti logaritmii in logaritmi in aceeasi baza, e este baza pe care o prefer eu. Folosim de exemplu faptul ca log in baza 60 din 3 este ln(60)/ln(3).Dam de:

De aici incolo explic ideea. Ni se cere o expresie in care nu apare ln(5).
Eu stiu ca nu exista nici o relatie algebrica intre ln(2), ln(3) si ln(5).
De aceea sunt obligat sa incerc sa fac rost de o relatie intre ln(2) si ln(3) folosind primele doua ecuatii. Deci trebuie sa eliminam ln(5) din primele doua ecuatii. Cel mai simplu, inmultim prima relatie cu (n-1), a doua cu m, scazand apoi...
Dam de o relatie intre ln(2) si ln(3) de forma a ln(2) = b ln(3), deci de forma ln 3 = c ln(2) cu litere a,b, c ce se calculeaza usor si sunt expresii in functie de m, n. inlocuind atunci in formula lui E acel ln(3) cu c ln(2) putem sa simplificam fiecare fractie cu ln(2), dam astfel de E ca functie de c, de aici ca functie de m si n. Daca ideea este clara, rog a nu se face calculele ci a se trece la urmatoarea problema.

Pentru cei ce au propus problema, pentru a mai vedea in ce secol suntem si cu ce ustensile putem calcula astfel de numere. Pasi intermediari:

Cu calculatorul, ca sa stim despre ce vorbim:

sage: m = ln(3.) / ln(60.) ; m
0.268324336648371
sage: n = ln(5.) / ln(60.) ; n
0.393088048154066
sage: E = ln(4.)/ln(3.) + ln(2.) / ln(12.)
sage: E
1.54080245279404
sage: (1-m-n) * ( 1/m + 1/2/(1-n) )
1.54080245279404

[Citat] Daca sa se calculeze

Bun, aici este clar care sunt "atomii", dupa ce rescriem expresiile date si cerute in functie de ln. Care este deci solutia? Avem aceeasi "idee" si acelasi dezgust.
Rog pe cel ce a propus problema sa-si faca tema de casa si sa ne comunice pasii intermediari si solutia. Daca dam de exemplu lui x valoarea pi/6, formula obtinuta poate fi verificata cu calculatorul (de buzunar). Chiar rog a se face aceasta verificare.


Dragi elevi, din pacate am trecut si eu prin asa ceva.

Dragi profesori, deoarece noi am trecut prin asa ceva, anume cum am trecut, ce-ar fi sa-i invatam pe copiii astia ceva cu mai mult sens si mai multa estetica... Cele de mai sus nu contribuie la dezvoltarea simtului matematic (structural). Este o sicana si daca nu ar fi si celelalte sicane la geografie, biologie, limbi, ... poate ca aceasta sicana ar fi acceptabila. Dar nu este, deoarece copiii sunt bombardati de sicane si nonsens din toate partile.

Cred ca ideea exercitiului (caci este un exercitiu, nu o problema) este exersarea formulei de schimbare a bazei, precum si a proprietatilor logaritmilor in general.
De exemplu,