Am si eu nevoie de ajutor cu 2 exercitii, in primul,
trebuie sa aflu limita sirului :

De exemplu, se poate aplica lema lui Cesaro-Stolz. Combinata cu formula binomului lui Newton, reiese ca

[Citat] Fie p mai mare sau egal cu 1 real fixat. Sa se calculeze limita sirului cu termen general:

Cine pune problema de fata si ne sugereaza ca limita ar fi finita astfel, presupune ca stie ca impartind a_n la n dam de un sir cu limita zero, i.e.

Acest lucru este un rezultat standard pentru clasa a XII-a, pus cel mai bine pe tabla pe clasa a XII-a, deoarece in partea stanga avem de-a face cu o limita de sume Riemann... Cum se demonstreaza acest lucru? De exemplu la nivel de a XI-a, stiind cam cum se demonstreaza teorema fundamentala a calculului integral si diferential, care afirma ca integralele definite (date prin definitie de limite de sume Riemann) se calculeaza folosind primitive (integrale nedefinite).

Ideea este de a folosi pentru functiile f, F date de

pentru care desigur are loc F'=f pe (0,1), deci pentru care teorema lui Lagrange a punctului intermediar (xi de obicei, c in unele manuale) poate fi folosita, anume de catre mine in forma care aduce mai mult a polinom Taylor:

unde x,x+t sunt doua puncte din intervalul de definitie, iar xi este un punct intermediar. Aplicam acest lucru pentru punctele x de forma x=k/n si pentru t=1/n, pentru functia crescatoare f, pentru a da de...

Daca adunam toate aceste inegalitati usor o minorare / majorare pentru termenul general de sub limita din relatia (*) de mai sus.

Bun, iar daca dorim informatii mai clare ce facem?
Facem ce-a facut croitorul ca sa ne intre lucrurile mai bine pe talie!
Folosim formula lui Taylor de ordin doi, care se scrie usor sub forma

unde xi...
Tema de casa: Sa se completeze detaliile, plagiind ideea de mai sus...
Daca sunt intrebari, rog a se pune.

(N.B. Au venit doua solutii cam in acelasi timp. Cea de mai sus - folosind Cesaro-Stolz - este cea mai simpla.)