Determinati

stiind ca

si

Poate m-am complicat eu, dar nu am gasit o solutie usoara.

Pentru ca radicalii sa existe trebuie ca

deci

si analog

si astfel

, deci

. WLOG

(cazurile in care doua variabile sunt egale se verifica imediat) . Distingem doua cazuri:

Cazul I:

. Atunci:

Fie

. Atunci

, si

. Inecuatia de mai sus este:

care, cu ajutorul calculatorului, da

sau

, contradictie cu faptul ca

.

Cazul II:

. Aplicam Holder:

Deci

Enuntul ar fi trebuit poate sa specifice cu de la sine putere a,b,c in (-1,1) pe langa a+b+c=1.

Fie f functia ajutatoare pe (-1,1) data de f(x) = x / sqrt(1-x) .
Derivand de doua ori vedem ca dam de o functie convexa.
Inegalitatea lui Jensen pentru ea ne da o comparatie directa intre
( f(a) + f(b) + f(c) ) / 3
si
f( (a+b+c) / 3 ) = f(1/3) .

Numerele

sunt invers ordnate aplicam Cebisev si apoi ineg. dintre media artitmetica si patratica.

edit:scuze,am redactat prea mult timp ,deci nu am vazut solutia mult mai simpla de mai sus

Asa-i Cebasev , Titu si inegalitatea mediilor!... cu scuzele de rigoare ca in enunt am omis

Desi Holder mi se pare cel mai rapid, altfel:

Sa notam

Dar

Din inegalitatea

Din

si

Intarire: