[Citat]
Se dau punctele:
A(90;10;50),
B(25;50;15) si
C(35;15;60).
Sa se determine:
(a) LungimeAdevarata marime a perpendicularei dusa din punctul C pe dreapta AB;
(b) Coordonatele punctului de intersectie dintre perpendiculara si dreapta AB. |
Aceasta este o problema tipica de geometrie analitica.
Dreapta AB (sau BA) are directia (plus/minus)
( 90-25, 10-50, 50-15 ) = 5( 18-5, 2-10, 10-3 ) = 5( 13, -8, 7 ) .
Planul [P] prin C cu aceasta normala are ecuatia
13(x-35) -8(y-15) + 7(z-60) = 0.
Desigur ca intersectia planului [P] cu dreapta (AB) este punctul D cautat la (b), astfel ca lungimea lui CD este ceea ce se cauta la (a).
Solutia scrie mai departe desigur ecuatia parametrica a dreptei AB sub forma
(AB) = { P(t) = A+tN = (90,10,50) + t(13,-8,7) unde t este din IR }
inlocuieste un punct generic P(t) de pe (AB) in ecuatia lui [P], se obtine o ecuatie de gradul unu in t, care trebuie sa fie usor rezolvabila, exceptand posibilitatea unor numitori mari si a necesitatii de a face calcule cu fractii cu numitori mari...
Computerul ma scapa de probleme pe care oricum le-am inteles:
cod
var( 'x,y,z,t' )
f(x,y,z) = 13*(x-35) -8*(y-15) + 7*(z-60)
solve( f( 90+13*t, 10-8*t, 50+7*t ) == 0 , t )
A = vector([90,10,50])
B = vector([25,50,15])
C = vector([35,15,60])
D = A - 685/282*vector([13,-8,7])
D
D.n()
(C-D).norm()
(C-D).norm().n()
sage: D
(16475/282, 4150/141, 9305/282)
sage: D.n()
(58.4219858156028, 29.4326241134752, 32.9964539007092)
sage: (C-D).norm()
5*sqrt(16763/282)
sage: (C-D).norm().n()
38.5497284073920
Nota: Daca cineva vrea sa "compuna" o astfel de problema cu o solutie normala pentru conditii de examen, ajunge sa ia punctele A,B,C cu coordonate intregi, astfel incat lungimea lui AB sa fie intreaga. Atunci formula cu determinant(i) a ariei lui ABC ne arata ca inaltimea fata de latura intreaga AB este relativ rezonabila in sensul ca nu apar radicali.
La clasa sau in examen s-ar putea lua poate (la matematica)
A(90;10;50),
B(20;80;15) si
C(35;15;60).
Access general
Conţine mesaje necitite
