Am vrut ,in prima faza sa scriu si demonstratia pe care o am eu,cu nelamuririle ei;dar mi se pare fortata si mai bine o scriu "singura";m-ar ajuta si un link,orice; atat timp cat eu am doar teorema si demonstratia.

Daca credeti ca ajuta la ceva,voi scrie si demonstratia;ca nu mi-e greu...

[Citat] Teorema (de caracterizare a operatorilor pozitivi) Fie T in B(H) un operator liniar, marginit (bounded/beschr"ankt/bornee) pe spatiul Hilbert H. Atunci sunt echivalente urmatoarele afirmatii: (i) T este un operator (autoadjunct) pozitiv, i.e. pentru orice x in H produsul scalar ( Tx , x ) este mai mare sau egal cu 0 . (ii) Exista un (nu neaparat unic) S autoadjunct in B(H) cu T = SS . (iii) Exista un (nu neaparat unic) S in B(H) cu T = S* S .

(i) implica (ii) : Pentru operatori normali (in particular pentru cei autoadjuncti) se defineste "usor" calculul functional cu functii (analitice -usor - dar chiar si cu cele) continue definite pe spectrul operatorului in cauza cu valori in numere complexe. Functia radical definita pe [ 0, oo ) este o astfel de functie f continua, deci restrictionata la spectrul unui operator in cauza livreaza un calcul functional. La noi: fie S = f(T), atunci
SS = f(T) f(T) = (ff)(T) = (x->x)(T) = (Identitatea)(T) = T .
S este autoadjunct, deoarece calculul functional "comuta" cu adjunctia. (Lucru clar pentru polinoame, iar polinoamele sunt "dense destul".)

(ii) implica (iii) : Trivial, S-ul de la (ii) e bun si la (iii) .

(iii) implica (i) Luam S-ul garantat de (iii). Fie x in H. Atunci
( Tx, x ) = ( (S* S) x, x ) = ( S* (Sx), x ) = ( Sx, Sx ) care este mai mare sau egal cu 0.

Partea cu unicitatea nu are nici o sansa. A se studia de exemplu:

Pe un spatiu finit dimensional cu T = Identitatea sau o matrice diagonala cu intrarile diagonale >= 0 in cate moduri putem lua radicali (cu semn cu tot) pentru intrarile de pe diagonala. Respectiv in cate moduri putem scrie un p >0 pozitiv dat sub forma
_
a a = p cu a complex...

daca T este operatorul de inmultire cu o functie pozitiva f (marginita, masurabila) de la spatiul (H = ) L2 peste IR tot in el, in cate moduri putem scrie f = gg cu g functie marginita, masurabila, respectiv
_
a a = f cu a functie cu valori complexe marginita, masurabila.

[Citat] Partea cu unicitatea nu are nici o sansa.

Pai,practic pentru ea am facut eu cu nervii capului;iata si demonsratia pe care o am:

[Citat] [Citat] Partea cu unicitatea nu are nici o sansa. Pai,practic pentru ea am facut eu cu nervii capului;iata si demonsratia pe care o am:

Ave?i dou? gre?eli fundamentale. În primul rând cei doi operatori s-ar putea s? nu comute, deci s-ar putea ca

. În al doilea rând, dac? X^2=0, atunci NU rezult? neap?rat X=0 (decât în cazul în care X este normal).

[Citat] Ave?i dou? gre?eli fundamentale.

Nu trageti in pianist!
Multumesc pentru lamuriri,in caz de "Doamne fereste",macar stiu ce sa fac la subiectul asta.

[Citat] Nu trageti in pianist! Multumesc pentru lamuriri,in caz de "Doamne fereste",macar stiu ce sa fac la subiectul asta.

A! A?adar acea demonstra?ie a?i reprodus-o de undeva? P?i nu e bine. Sau (mai degrab?) nu a?i scris enun?ul complet. Unicitatea de la (ii) este valabil? dac? cerem ca operatorul S s? fie tot pozitiv! Unicitatea de la (iii) NU este adev?rat?!

[Citat] Sau (mai degrab?) nu a?i scris enun?ul complet.

Nu,e adevarat ca am modificat enuntul; la iii) era scris in cuvinte :"mai mult,S este singurul operator cu prop. ca T=S*oS"

Bun...haideti sa intarim conditia si sa pp S operator pozitiv.Tot nu reusesc sa ma dumiresc cum e cu unicitatea.

[Citat] Bun...haideti sa intarim conditia si sa pp S operator pozitiv.Tot nu reusesc sa ma dumiresc cum e cu unicitatea.

Ideea pe care a?i pornit mai sus poate fi adaptat?. Folosind calculul func?ional ?tim c? exist? un operator

POZITIV al c?rui p?trat este T. ACEST OPERATOR COMUT? CU T. Dac? S este un alt operator POZITIV al c?rui p?trat este egal cu T atunci ideea pe care a?i schi?at-o func?ioneaz? (pentru c? acei operator comut?).

Defapt aveam un fir,"Analiza complexa" dar nu il mai gasesc.Deci:

Ce au seriile exponentiala si geometrica mai special intr-un sp.Banach?
Intreb asta pentru ca am de studiat operatori liniari si bijectivi pe un spatiu Banach ;seria exponentiala si geometrica -si nu gasesc nimic;probabil nici nu stiu ce sa caut.