Cate coliere distincte putem face avand la dispozitie 4 margele negre, 3 albe si 1 rosie??
Evident putem sa-l rotim sau intoarcem si obtinem acelasi lucru.

Deoarece avem exact o bila rosie, putem sa o folosim pentru a fixa lucrurile. (O plasam mereu pe aceeasi pozitie.) Problema e echivalenta cu una in care avem de pus 4 zero-uri si 3 unu-uri unul dupa altul modulo schimbarea ordinii in acest sir. (Am scapat de actiunea grupului ciclic cu opt elemente.)

Calculam numarul de orbite ale actiunii grupului S2 = ( id, rasturnare ) pe multimea X a tupletelor ordonate cu sapte elemente (a,b,c,d,e,f,g) dintre care exact patru sunt zero si exact trei sunt unu. Voi scrie mai simplu cuvantul abcdefg in loc de tupletul... O orbita este multimea
{ abcdefg , gfedcba } .

Daca o orbita are un element atunci desigur ca avem de-a face cu o configuratie abc1cba. Altfel abcdefg si gfedcba sunt diferite, se duc prin rasturnare insa in aceeasi configuratie de lantisor, deci trebuie numarate doar o data.

Numarul cautat de configuratii / orbite / lanturi este in acest sens - uitandu-ne mereu la cele trei 1-uri:

gp> binomial(3,1) + ( binomial(7,3)-binomial(3,1) ) / 2
19



O rugaminte:
Care este sursa / autorul?! In ce context a aparut problema?!

E de pe un site (artofproblemsolving.com) unde fiecare dadea cate un raspuns, diferit de celelalte )) Intr-adevar, aparea si 19.
A, si e de nivel cel mult a-10-a, ma rog, solutia poate fi reformulata fara a face referire la actiuni de grupuri sau orbite.
Iata link-ul:
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=149&t=383921