Cred ca trebuie sa existe o solutie pur algebrica...

Doresc si eu raspunsul "in detaliu" al dlui
Enescu care se anunta dar nu a mai venit.

Topicul e vechi de 4 luni, dar tot nu pricep ce e cu universalitatea aia.
Va sa zica, tot ce e valabil pentru radacini distincte, e valabil
si in cazul in care unele sunt multiple. Cine imi garanteaza un asa principiu??Ca e foarte bun )

Cer scuze daca partea cu "universalitatea" nu a fost clara.
Se intampla des ca oamenii sa nu ma inteleaga (si reciproc), se intampla des si cu unii pe altii in alte domenii, motivul e faptul ca nu sunt suficiente sanse ca sa ne aranjam un cadru comun, de exemplu prin repetate actiuni de intrebari-raspuns-intrebari...

Mai incerc o data.

Fie S1, S2, S3, S4 patru necunoscute (sau variabile transcendente peste QQ).
Fie s1, s2, s3, s4 polinoamele simetrice elementare in necunoscutele (in variabilele transcendente peste QQ) X1, X2, X3, X4.
Mai luam o variabila X (transcendenta peste QQ(X1,X2,X3,X4)).

Sa consideram poza urmatoare, care caracterizeaza polinoamele simetrice:

E este morfismul care duce Si-urile, variabile transcendente, in polinoamele simetrice Elementare si, polinoame in noile variabile X1, X2, X3, X4.

Sa consideram acum diagrama urmatoare:

Aici, T1,...,T6 sunt sase variabile transcendente.

Ceea ce cautam noi, sunt sase polinoame "universale"
t1, t2, ... , t6

t1 = t1( S1, S2, S3, S4 ) ,
t2 = t2( S1, S2, S3, S4 ) ,
t3 = t3( S1, S2, S3, S4 ) ,
t4 = t4( S1, S2, S3, S4 ) ,
t5 = t5( S1, S2, S3, S4 ) ,
t6 = t6( S1, S2, S3, S4 ) ,

de variabilele S1, S2, S3, S4, cu proprietatea ca

Exista asa ceva?

Da. De ce?
Esential este sa vedem ca daca desfacem (sau nu) parantezele, obtinem un polinom in X de grad sase, cu proprietatea ca toti coeficientii stau pe loc la o permutare arbitrara a simbolurilor X1, X2, X3, X4.
Toti acesti coeficienti sunt deci polinoame simetrice.
In conformitate cu teorema fundamentala a polinoamelor simetrice, acesti coeficienti se scriu ca polinoame de polinoamele simetrice fundamentale.

De exemplu:

Incercarea de gasirea a celorlalte functii simetrice si verificarea pe cateva cazuri, de exemplu pe X(X-1)(X+1)(X-u), este un exercitiu bun de algebra...

Sper ca este clar de ce, avand polinoamele t1, ... , t6, orice problema de forma celei initiale cu un alt polinom de plecare se rezova aplicand aceste polinoame pe coeficientii polinomului dat, corespunzator schimbati in semnul lor.