In cartea dlui profesor Enescu, apare la pag 35 urmatoarea problema:
Daca

sunt radacinile ecuatiei

sa se arate ca

este o radacina a ecuatiei

.
Solutia rezulta nu foarte greu, folosind relatiile lui Viete.
Apoi autorul adauga "sa mai observam ca, deoarece notatia radacinilor este conventionala-adica oricare din cele 4 radacini poate fi notata cu

- rezulta ca toate radacinile ecuatiei

.
Foarte bine,plauzibil, dar eu as zice totusi ca ultima afirmatie nu e chiar complet justificata!!
Daca toate

sunt distincte intre ele, cum sunt 6 bucati si verifica o ecuatie de gradul 6, sunt toate radacinile acestei ecuatii.
Dar daca cumva s-ar intampla ca , sa zicem

ar mai fi rezolvarea corecta ??
Pai eu cred ca in cazul acesta am avea de fapt doar 5 radacini distincte la o ecuatie de gradul 6!! Si de unde stiu ca a-6-a e tot una dintre ele(adica e dubla) sau nu cumva e alta, de-aiurea??
la noi in problema se poate arata usor ca toate

sunt distincte, dar ma gandeam, ar fi posibilitatea sa se greseasca intr-o problema din asta sau sigur acea radacina posibil dubla nu afecteaza? De ce?
Iar problema a fost data la USAMO '77 si nu '80 cum scrie in carte.

Nu am inteles intru totul intrebarea, spun cateva cuvinte pentru a imi preciza neintelegerea:

Presupun ca solutia merge asa (neavand cartea):
Notam cu s1, s2, s3, s4 polinoamele simetrice elementare in x1, x2, x3, x4.
Notam cu y1, ... , y6 cele 6 produse de cate doua elemente diferite dintre x1, x2, x3, x4.
Notam cu t1, t2, ... , t6 cele 6 polinoame simetrice elementare in y1, ... , y6.
Ele pot fi vazute ca polinoame in y-uri, dar prin substituire si ca polinoame in x-uri. Deoarece schimband xi cu xj (si lasand celelate icsuri pe loc), dam de o permutare a igrecilor, cele 6 polinoame stau pe loc, ele sunt functii simetrice si in x1,x2,x3,x4, vazute ... Deci t-urile se exprima "universal" si la nivel simbolic in functie de s-uri.

Desigur, in cadrul unui concurs / la olimpiada, e bine sa dam valori implicite acelor x-uri, astfel incat cat mai multe s-uri sa se anuleze, pentru ca acei concurenti nu vin cu calculatorul dupa ei.

Cand incercam sa redactam cele de mai sus intr-o carte, un lucru esential este de a surprinde ideea pentru cititor intr-o propozitie cat mai scurta. Daca idea a fost prezentata cu cuvintele de mai sus, in incercarea de a pune cat mai repede mana pe un lucru care e (suficient) de demonstrat, acest lucru este inca bun nu numai din motiv didactic, ci si
- a priori, deoarece avem universalitatea de mai sus,
- a posteriori, deoarece asa cum se observa in cazul nostru nu avem x1 x2 = x3 x4 pentru alegeri (ne)convenabile, deoarece polinomul de gradul sase obtinut nu are radacini duble.

Daca plecam cu polinomul f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-6) si ne facem ca nu stim cine sunt x1, x2, x3, x4, inca avem un mod de a arata ce polinom are radacinile y1, y2, ... , y6 asociate ca in problema / solutie, anume
g(x) = (x-2)(x-3)(x-6)(x-6)(x-12)(x-18) ...

E universalitatea de mai sus.
Dar sa zicem ca avem neincredere in ea sau nu ne-a venit.
Un motiv proaspat ar fi sa-l deformam pe 6-le ala, radacina a lui f, sa-l facem 6+epsilon, e totusi clar ca in g dam de sase radacini diferite in cazul unui epsilon (mic) generic, iar prin continuitatea coeficientilor lui g in parametrul de deformare epsilon am rezolvat cazul cu coincidenta x1 x2 = x3 x4 daca "credem" cazul in care nu avem astfel de coincidente...

Nu, solutia nu e cu calculul tuturor sumelor simetrice elementare(de altfel e prea laborios), ci se arata direct, folosind relatiile Viete, ca

e radacina a celui de-al doilea polinom.
Nici eu nu prea inteleg ce este cu acea "universalitate"?!
Si cum e cu continuitatea si cu acel epsilon?? M-am gandit si eu la asta, insa e putin cam "vag". Cum /unde trecem la limita sa ne dea radacina dubla??
Si este evident ca daca mergem pe varianta de solutie cu calculul tuturor sumelor simetrice pentru produsele a cate doua radacini, solutia e corecta si completa.

Bun, care este deci intrebarea?
Eu nu stiu inca cum se arata ce se arata in ce ordine si cu ce argument.

P.S.
Universalitatea se leaga de faptul ca aceeasi problema poate fi scrisa pentru polinomul "universal"

si se poate demonstra usor (prin teorema de reprezentare a polinoamelor simetrice) ca exista polinoame "universale" (de grad ponderat cum le e indicele)

cu proprietatea ca aplicatia ce invariaza X si trimite

(deci trimite f in (X-X1)(X-X2)(X-X3)(X-X4) din Q[X1,X2,X3,X4][X])
va trimite atunci g dat de

in a(g) dat de formulele

Aceasta existenta nu spune nimic despre formula pentru g, dar clarifica faptul ca nu avem probleme de "distrugere a cazului generic" prin specificare Xi -> xi din IR cu o eventuala coincidenta x1 x2 = x3 x4 .

Mult mai simplu este argumentul cu deformarea, dar daca nu este clar ce inseamna deformarea (continua), argumentul nu este simplu.
Pe scurt, se vede din alte motive (nu cele ce presupun universalitatea si structura polinoamelor simetrice) ca t-urile depind continuu de X-urile obtinute peste C din s-urile date. In acest mod, ne putem intotdeauna aranja sa rezolvam problema calitativa dintr-un caz "generic". (Cuvantul generic il folosesc aici in sensul geometriei algebrice si se refera la un punct geometric din spatiul afin ce evita un subspatiu algebric de dimensiune strict mai mica.)

Dar argumentul cu "deformarea" (ce-i aia??) nu poate fi prezentat si la nivel elementar??
Nu se poate vorbi doar despre ecuatii algebrice, ce atatea abstractiuni cu Q-uri de [xx,yy,zz,tttt,uuuuu,vvvv]?? Chiar e strict necesar??

Solutia autorului e dupa cum urmeaza: foloseste relatiile Viete pentru ecuatia initiala de gradul 4:

le prelucreaza pe acolo(dupa ce se simplifica putin treaba deoarece toate ecuatiile se pot exprima in functie de

Si elimina tot pe-acolo pana cand ii da ca

verifica ecuatia a doua, cea de gradul sase.
Iar apoi zice ca, analog pentru

se poate face acelasi lucru si arata ca verifica aceeasi ecuatie de gradul 6.
Acum nu stiu, poate am eu un spirit excesiv de critic(recunosc ca ma pasioneaza "despicatul firului in patru" ) ), insa dupa parerea mea solutia pur si simplu lasata asa ridica niste subtile semne de intrebare, chiar daca poate altii ar trece mai departe fara sa-i deranjeze absolut nimic la aceasta solutie.
Si totusi, daca am sase numere, si stiu ca-s distincte, si mai stiu ca ele verifica o ecuatie de gradul 6, totul e OK, astea sunt toate radacinile acelei ecuatii, deoarece nu poate avea mai multe radacini decat gradul sau.
In schimb, daca eu arat ca 6 numere(in aparenta 6 numere!!! deoarece unele pot fi egale!!) imi verifica ecuatia de gradul 6, dar nu stiu ca aceste numere ar fi distincte, argumentul are o mica problema!!
Adica ceva de genul: cutarica arata ca

si

(sa zicem ca nu le stie exact valorile) verifica ecuatia de gradul 2

si deduce ca aceasta ecuatie are radacinile

. Dar daca
sa zicem, in realitate, valorile pe care nu le stia cutarica erau de fapt

, el trage concluzia ca 1 e radacina dubla, sa zicem, desi nu e asa, 1 e radacina simpla!!
Eiiii, este ca se poate gresi??
Cine-mi garanteaza mie ca asta nu se intampla in cazul ecuatiei mele de gradul 6?? Ca eu habar n-am cine-s radacinile alea si ca unele pot fi egale!!
Dar poate ne lamureste autorul cartii!!
In schimb nu prea m-am prins ce doriti dvs sa ma convingeti cu sumele acelea
simetrice si polinoamele alea intr-o groaza de nedeterminate ciudate.
Acum bine, mai e o metoda de a rezolva problema.
Se scriu frumos relatiile Viete ptr ecuatia de gradul 4, si apoi se iau frumos

si se calculeaza (e un pic de munca)

Apoi daca le am pe astea, problema e banala, ecuatia cu radacinile

e tocmai

iar aici putem baga mana-n foc ca nu-s probleme cu multiplicitatea radacinilor, c-am bagat fix 6 bucati in sumele Viete, puteau sa fie si toate 6 egale )
Da, asta e o solutie ce inlatura orice dubiu, insa e mult mai mult de munca ca sa calcula toate S-urile alea, ne cam doare capul. Solutia autorului e mult mai directa, insa ridica acea problema cu multiplicitatile!

[Citat] Dar argumentul cu "deformarea" (ce-i aia??) nu poate fi prezentat si la nivel elementar??

Problema pusa, cu totul alta decat cea propusa la USAMO, presupune un anumit nivel. Daca el e elementar, atunci si deformarea este ceva elementar. Raspunsul la intrebarea "ce-i aia??" cu doua semne de intrebare a fost suficient de bine prezentat deja. Unde in prezentare e ceva de ne-nteles (la nivel elementar)?

[Citat] Nu se poate vorbi doar despre ecuatii algebrice, ce atatea abstractiuni cu Q-uri de [xx,yy,zz,tttt,uuuuu,vvvv]?? Chiar e strict necesar??

Asta e deja bataie de joc si autism. Daca am incercat sa dau sens problemei asa cum ar avea ea sens, probabil ca am avut nevoie de notatie. Mie mi se pare ca e necesar. Pana nu vad un enunt clar a problemei despre care discutam, nu are sens oricum sa ne adancim.

[Citat] Solutia autorului e dupa cum urmeaza...

Introduc notatii, pentru ca sa ma pot articula curand: Fie s,p,s',p' date de

Atunci relatiile lui Viete pentru ecuatia de grad 4 in x data se rescriu ca patru ecuatii in s,s', p,p' ce precizeaza valorile pentru
s + s'
p + p' + ss'
sp' + s'p
pp'
in care daca se elimina s', p' (simplu) si apoi p se obtine ecuatia de grad 6 data in s.

Bun, acum am inteles pentru prima oara solutia autorului (cartii pe care poate o au doar putini cititori ai acestui forum).

[Citat] Iar apoi zice ca, analog pentru se poate face acelasi lucru si arata ca verifica aceeasi ecuatie de gradul 6.

Desigur, se reface acelasi rationament, luand s=x1+x3, p= x1 x3, ... si copiind aceleasi calcule. Nu numai ca "zice", dar zice bine si am putea zice mai bine "Iar apoi are loc evident ca..."

De aici stim ca numerele (xi)(xj), i,j diferite intre ele printre 1,2,3,4 verifica ecuatia de grad sase data. Problema USAMO este de mult rezolvata oricum.

[Citat] ...dar nu stiu ca aceste numere ar fi distincte, argumentul are o mica problema!!

In cazul dat, cele sase numere sunt distincte. Dupa cum se vede imediat la nivelul la care discutam. Anume daca p=p' mai sus ecuatiile de mai sus
s + s' = ...
sp' + s'p = ...
atrag dupa sine p=p'=0, lucru cam strigator la cer (pp' nu e zero). Poate ca in cartea pe care n-o am, dupa ce s-a terminat problema au mai fost facute cateva observatii. In orice caz, pe problema data cu polinomul de grad 4 dat nu ne putem pune problema "ce s-ar intampla daca...?" pentru ca "daca..." nu se intampla.

De aceea am intrebat o data si mai intreb o data:
Care este intrebarea la care as putea sa raspund?
Aceasta este intrebarea la care as dori sa mi se raspunda clar, cu ipoteza clara si concluzie clara. Si anume din prima linie de postare.

[Citat] In schimb nu prea m-am prins ce doriti dvs sa ma convingeti cu sumele acelea simetrice si polinoamele alea intr-o groaza de nedeterminate ciudate.

Eu nu doresc sa conving pe nimeni nimic, eu am reformulat problema care am crezut eu ca sta la discutie asa cum ar trebui ea pusa (intr-un cadru cat se poate de general). Daca am nevoie de patru determinate, le notez cum vreau eu, consider ca notatia nu e ciudata, in definitiv nu am luat U_2011, Phi, epsilon si alef_zero. Dar m-am inselat, asa ca vreau sa vad clar care e problema.
Pentru a avea o baza comuna de comunicare, rog a se citi mai intai teorema fundamentala de caracterizare a polinoamelor simetrice, de exemplu de aici:
[url]
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_symmetric_polynomials

[Citat] Acum bine, mai e o metoda de a rezolva problema...

Da, este exact ce am descris eu mai sus in cazul general. Am avut nevoie sa merg la cazul general, pentru a permite o eventuala coincidenta x1 x2 = x3 x4 .
(Acest caz general este numit in geometria algebrica mai exact "generic", dar nu insist pentru a nu da de intrebarea "ce este geometria algebrica la nivel elementar??")

Si daca si asa solutia aceasta a doua, "mai muncitoreasca" este deja cunoscuta, si

[Citat] putem baga mana-n foc ca nu-s probleme cu multiplicitatea radacinilor...

devine clar
- (i) ca pentru problema data solutia data este cea mai scurta, (ii) ca observatia ca celelalte 5 radacini sunt cele specificate este corecta si (iii) ca cele sase valori diferite sunt toate cele radacinile polinomului de grad sase dat,
- ca intrebarea initiala, daca va/ar fi cumva precizata matematic, este deja rezolvata.

A mai ramas deci un singur lucru de precizat: Care este problema despre care discutam tot timpul?

Nu va enervati.
Problema e rezolvata de mult, corect. Dar incomplet in varianta autorului.
Si nu, in solutia din acea carte nu se mai precizeaza absolut nimic in plus.
Si daca nu ati inteles care era intrebarea, pe mine ma interesa cazul general.Acela cu "deformarile". Daca puteti da un argument inteligibil, ok, daca nu, mai bine nu mai postati, decat sa umpleti aici cu tot felul de comentarii total
"pe langa", ca sa nu mai zic de anumite catalogari.

La multi ani! Numai bine!

Plecam cu patru numere x1, x2, x3, x4, radacinile unui polinom f de grad patru.
Ca in solutia de mai sus in care lucram cu s,s',p,p' eliminam din relatiile Viete pentru f, reflectate in patru ecuatii pentru s,s',p,p' trei dintre acesti parametrii, anume s',p,p' si obtinem o ecuatie in s. Este o ecuatie de grad 6. Notam cu g polinomul de grad 6 corespunzator. Deci g(s) = 0.

In acest mod am demonstrat ca x1 x2 este o radacina a lui g.
Prin simetrie (grupul simetric actioneaza pe cele patru radacini x1,x2,x3,x4) rezulta ca (xi)(xj) este radacina a lui g de asemenea, i,j indici diferiti intre ei, 0<i<j<5. Facem afirmatia ca aceste 6 valori (xi)(xj) sunt radacinile lui g.

Daca aceste valori sunt diferite, lucrurile sunt clare.
Daca aceste valori nu difera, facem cam asa. Sa zicem ca x1 x2 = x3 x4 este singura coincidenta. Atunci plecam inca o data, anume cu numerele
x1, x2, x3, x4+e
(daca x3 este diferit de zero, daca nu foarte multe radacini sunt zero... Nu vreau sa discut multele cazuri, ci doar sa spun cum se poate folosi deformarea).
Aici e>0 nu este exp(1) ci un epsilon mai scurt.
Cele 6 numere (xi)(xj) ce rezulta fie diferite.
Prin eliminare obtinem in locul lui g un polinom ce depinde de e, fie el g(e).
Este clar ca trecand la limita cu e>0 spre zero, coeficientii lui g(e) converg respectiv spre coeficientii lui g. De aceea si radacinile lui g(e) converg spre radacinile lui g. Daca radacinile lui g sunt distincte, teorema corespunzatoare ce asigura convergenta este cea a functiilor implicite. La nivel de clasa a XI-a se poate demonstra pentru ce vrem noi. Daca radacinile lui g nu sunt distincte, cazul nostru, x1 x2 = x3 x4, atunci profitam de faptul ca x1, x2, x3 stau pe loc la deformarea noastra, deci ne legam cel mai bine de polinomul mai simplu h(e) de grad 3 obtinut impartind g(e)(x) la (x-x1 x2)(x-x1 x3)(x-x2 x3) . Acesta nu mai face probleme.

Ultimele propozitii sunt detalii.
Principiul aplicat este deci de forma urmatoare:
Oricarui f am asociat in mod specific (algebric) un g.
x1,x2,x3,x4 sunt radacinile lui f. Asociem numerele y12,y13, ... , y34.
Daca acestea sunt sase numere distincte, atunci ele sunt radacinile lui g.
Daca nu, deformam "atent" f la un f(e) cu e>0 astfel incat
lim f(e) = f
e->0
dam de noi valori x1(e),x2(e),x3(e),x4(e) si corespunzator y12(e),...,y34(e).
Daca deformam cu "atentie", obtinem pentru orice e intr-un interval (0,?) corespunzator sase valori diferite y12(e),...,y34(e). Trecem cu e la zero.
Coeficientii lui f(e) converg la cei ai lui f.
Radacinile lui f(e) converg respectiv la cele ale lui f.
Radacinile diferite y12(e),...,y34(e) ale lui ge(e) converg la y12,...,y34.
Coeficientii lui g(e) converg la cei ai lui g.

Rezulta ca y12,...,y34 sunt cele sase radacini ale lui g.

Desigur ca pentru problema aceasta, argumentul cu deformarea este mai simplu de "simtit" si mai greu de argumentat riguros. In argumentarea relativ riguroasa de mai sus problema principala a fost cea de a sti ce enunt este de demonstrat.
Mai mult de jumatate din expunere s-a dus pe acest efort. Modul celalalt prin care construim g folosind doar relatii Viete si caracterizarea polinoamelor simetrice ca polinom de polinoame elementare este cel ce trebuie folosit in general, daca f este de grad N si vrem sa dam o reteta pentru g-ul corespunzator de grad N(N-1)/2.

Ca tema pentru un pariu as formula inca o data (acum explicit) banuiala, ca in cartea pe care din pacate nu o am, in demonstratia problemei de la USAMO faptul ca x1 x3, x1 x4, ... , x3 x4 sunt celelalte radacini ale lui g vine

ca o observatie (didactica)

dupa ce problema a fost deja rezolvata.

[Citat] Ca tema pentru un pariu as formula inca o data (acum explicit) banuiala, ca in cartea pe care din pacate nu o am, in demonstratia problemei de la USAMO faptul ca x1 x3, x1 x4, ... , x3 x4 sunt celelalte radacini ale lui g vine ca o observatie (didactica) dupa ce problema a fost deja rezolvata.

Bineinteles,pariu castigat!
Solutia se incheie astfel:
..."problema poate fi reformulata astfel:

"

In alta ordine de idei,dat fiind titlul topicului,cred ca ar fi bine de spus ca,in conditiile in care capitolul "Polinoame" se (mai) preda doar in clasa a-12-a,cartea reprezinta un excelent suport didactic pentru elevii mai mici si pentru profesorii lor,carora le-o recomand cu mare drag.

In rest,sa auzim de bine in noul an!

Wow, am lipsit câteva zile din ?ar? ?i iat? un thread în care apare numele meu

Am s? r?spund mâine în detaliu, dar, pân? atunci, încerca?i s? aplica?i metoda prezentat? în carte pentru polinomul ini?ial

, ale c?rui r?d?cini sunt

.
Ce polinom de gradul 6 se ob?ine?

[Citat] Wow, am lipsit câteva zile din ?ar? ?i iat? un thread în care apare numele meu Am s? r?spund mâine în detaliu, dar, pân? atunci, încerca?i s? aplica?i metoda prezentat? în carte pentru polinomul ini?ial , ale c?rui r?d?cini sunt . Ce polinom de gradul 6 se ob?ine?

Mda, interesant topicul, am vazut ca sunt si la BAC in variante niste probleme
de genul asta, sa se arate ca un polinom are drept radacini inversele radacinilor unui alt polinom. Iar "solutia scurta"(nu cea bazata pe calculul sumelor Viete si formarea polinomului apoi), tot asa, are niste probleme cand radacinile sunt multiple.

Interesanta "pacalirea" problemei cu acel "+epsilon", e un truc foarte bun.