In general, daca avem o ecuatie polinomiala de gradul n, se stie ca aceasta are n radacini(nu neaparat toate distincte). Noi le notam in general cu x1,x2,...,xn, insa in general nu prea putem sti "care e care".
Daca avem de exemplu o problema:
"Determinati relatia intre a si b pentru care ecuatia
x^2+ax+b=0 admite doua radacini astfel incat una e dublul celeilalte"
Cand le notam cu x_1 si x_2, de unde stim "care e care"?

Putem pune de exemplu conditia (x1-2*x2)(x2-2*x1)=0 si apoi cand desfacem parantezele apar expresii care se pot calcula cu relatiile Viete. Va sa zica aici nu stim care radacina e dublul celeilalte si incercam ambele variante.

Insa putem sa spunem si asa: o notam cu x1 pe cea care e dubla si cu x2 pe cea care e jumatate.
Si obtinem sistemul
| x1=2*x2
| x1+x2=-a
| (x1)*(x2)=b

si la final se obtine aceeasi conditie.

E putin ciudat ca , in prima varianta, "nu am stiut" care radacina e dublul celeilalte, insa in a doua "am stiut".
Nu stiu, pare putin incomoda aceasta "mica ambiguitate" din prima solutie, de exemplu. Adica vorbim despre doua numere x_1 si x_2, insa nu stim exact cam cine e x_1 si cine e x_2,(avem de fapt doua variante) doar ca impreuna reprezinta radacinile unei ecuatii de gradul 2. Exista ceva subtil aici, sau bat eu campii? :lol: Sau are legatura cu axioma alegerii?? Sau cu grupul permutarilor?
Ca am mai vazut ca se considera tot asa niste permutari ale radacinilor si in teoria Galois.
Ca tot era un banc "matematica e domeniul in care nu se stie depsre ce se vorbeste", ca si in cazul radacinilor noastre.
Iar "problema" e valabila s la o ecuatie oarecare. Putem spune: fie x1,x2,...,xn radacinile unei ecuatii de gradul n. Pai, daca nu adaugam, de exemplu, ca x1<=x2<=.....<=xn, exprimarea nu e precisa, deoarece, evident, radacinile exista, formeaza un fel de multime(de fapt o multime "cu repetitii" sau un as-azis multiset, deoarece cele multiple apar de mai multe ori), insa nu se stie in ce ordine le-am luat si le-am notat prin x1,...,xn. Avem o multime de posibilitati de a le nota astfel. Aceasta mica "nedeterminare" nu poate sa ne afecteze in rezolvarea unei cerinte depsre radacini care ar urma???
Exista vreo posibilitate de a elimina aceasta nedeterminare? ma gandesc ca daca am pune conditia ca radacinile sa fie in ordine crescatoare, ar fi mult mai precis, insa putin incomod, deoarece ar trebui sa avem grija mai departe de aceasta ordine.
Spre exemplu, la ecuatia de gradul 2 de mai sus, daca zicem: Fie x1 si x2 radacinile, astfel incat x1<=x2, nu mai poate fi vorba ca sa existe si posibilitatea x1=2*x2 si cea in care x2=2*x1, si nu stiu cum am putea continua pe prima varianta de solutie.
Mai precis, ce axioma sau ce principiu din matematica imi permite sa lucrez riguros cu radacinile, luate asa, la intamplare,fara nicio jena, ca in prima solutie la problema?? Axioma alegerii cumva? Dar aia stiu ca e facuta ptr o alegere "dintr-o infinitate ".
In fapt ideea este de a lucra cu elementele unei multimi, in care stim ca nu conteaza ordinea elementelor, atunci cand nu am o posibilitate de a le distinge intre ele(intervin simetric!). Si daca tot intervin simetric,poate s-ar putea clarifica lucrurile prin consideratii de permutari?

Problema cu "una e dublul celeilalte" nu se leaga de nici un fel de ordine.
Exista doua solutii, ca mai sus, una e algebrica, prelucreaza (x1-2.x2)(x2-2.x1) ce lucreaza cu doua variabile intr-un stil purist, a doua vede ca de fapt avem nevoie de un singur parametru neambiguu, x1, si il elimina rapid intre
a=-3.x1 si b=2.x1^2. Desigur ca aici nu are sens sa ne punem probleme mai adanci. Asta e raspunsul pragmatic si la obiect.

Daca intrebarea a fost poate alta, atunci nu raspunsul, ci o discutie relativ satisfacatoare ar fi urmatoarea:

Cazul / un caz in care trebuie sa ne punem probleme mai adanci si in care chiar apare necesitatea de identificare a lui "cine e cine" este insa dupa cum urmeaza:
Consideram pentru simplitate ecuatia de gradul 2 in x peste Q:

Pentru cei cu ambitie se poate scrie aici si o ecuatie de gradul 5, dar nu asta e problema.

Desigur ca nu avem solutie peste Q, trebuie sa mergem cel putin la Q[ i ] ca sa dam de o solutie. In fine solutiile sunt i si -i. (Aici deseori am primit in algebra intrebarea "De unde stim ca eu lucrez cu i, iar vecinul de bloc cu acelasi i, nu cu -i?!" Raspunsul e ca nu stim si pentru intrebari bine puse nu conteaza. On intrebare prost pusa ar fi "Sa se calculeze x1+7.x2 unde x1 si x2 sunt radacinile..." care e de categoria "Sa se calculeze x1+0.x2 unde...")

A trebuit deci sa intram intr-un corp mai mare si sa precizam solutiile.
Dar puteam poate sa luam si alt corp, de exemplu un corp p-adic... In corpul 5-adic, notat de toata lumea

am avea de asemenea doua solutii, care incep cam asa:

La fel ca si peste C, nici aici nu stim "care e care", alegerea / notatia introdusa de mine mai sus are de-a face cu modul in care ordonez eu corpul cu cinci elemente. (Peste acest corp acelasi exemplu este poate si mai pregnant.)

Teoria moderna a numerelor (bazata pe analiza in toate compleatarile posibile a ecuatiei date si studiul actiunii grupului Galois al inchiderii lui Q la nivel de completar) are "probleme" cu o "sincronizare" a radacinilor... (In sensul ca daca pentru un polinom f am definit ceva de forma x1(f) ca prima radacina a lui f nu prea stim in general ce e cu x1(f^2) sau cu x1( f(.+1) ) ca sa nu marim gradul..)
Sper ca am marit suficient de mult confuzia.

Bun asa, deci bancul ala e adevarat. :lol:
In definitiv, "chestiunea" tine insasi de conceptul de multime si de cum definim o multime si elementele sale.
Iar ca exemplu de probleme "prost formulate", se gasesc in culegeri de algebra cu duiumul.
De exemplu, se da o ecuatie de gradul 2 ai carei coeficienti depind de un parametru m si se cere intervalul in care variaza raportul (x1)/(x2) , expresie care nu e simietrica in radacini...