In cate moduri putem aseza n persoane la o masa circulara? Daca asezarile care coincid printr-o rotatie nu sunt considerate distincte??

Dar daca doua asezari in care fiecare persoana are aceeasi vecini(indiferent care e-n stanga si care e-n dreapta) nu sunt considerate distincte??

Raspunsul la prima ar trebui sa fie (n-1)!, iar la doua (1/2)(n-1)!, daca nu gresesc.
Insa cum se redacteaza o solutie riguroasa la aceasta problema?

Fie X multimea configuratiilor considerate distincte in fiecare din cele doua cazuri. Grupul G al permutarilor de n elemente actioneaza tranzitiv pe X.
Fixam un punct x din X si calculam grupul ce stabilizeaza x. Daca S este acest grup (Stab_G(x)), atunci avem din bijectivitatea G/S ~ X ce trimite clasa lui g in gx:

|X| = |G/S| = |G| : |S|.

G are n! elemente.

Stabilizatorul (configuratiei ciclice) x = (1<2<3<...<n<1) este in primul caz cel generat de permutarea ciclica (1,2,3,...,n), ce corespunde rotirii mesei, are n elemente desigur,

iar in al doilea caz mai apare si simetria la masa, singura care conserva vecinii, ceva de forma (aranjam farg ca 1 sa stea pe loc):
(1)(2,n)(3,n-1)... daca n>2. Se genereaza un grup diedru cu 2n elemente, grupul simetriilor unui poligon regulat cu n varfuri.