Data o ecuatie f(x)=0 de gradul n, cu radacinile x_1,...,x_n(unele se pot repeta) si o functie rationala u, aratati ca, eliminand x intre ecuatiile:

f(x)=0 si
y=u(x)
obtinem o ecuatie
g(y)=0

ale carei radacini sunt y_1=u(x_1),...y_n=u(x_n).


De aratat ca y_i sunt radacini (simple!)pentru g(y)=0 e usor, fiind o consecinta a eliminarii. Insa nu e suficient pentru rezolvarea corecta si completa a problemei!!!
"Mica" problema pe care o vad eu e ce se intampla daca, sa zicem, ecuatia initiala f(x)=0 are o radacina dubla a, sa spunem.
Cum aratam atunci ca a^2 e radacina tot dubla pentru g(y)=0??
Observatie: eliminarea lui x se poate face prin procedee diverse sau chiar folosind rezultantul a 2 polinoame(determinantul matricii Sylvester). Insa sigur iesie, functia u fiind rationala.
Dificultatea cerintei cu radacina dubla/multipla sta tocmai in faptul ca nu prea cunoastem forma polinomului g asa usor pe cazul general.
Ma gandesc de mai de mult la chestiunile acestea, insa nimeni nu m-a putut lamuri.
In carti se tranteste direct "se elimina...bla bla" si se ajunge la ecuatia finala in y, fara a pune vreo problema de radacini multiple sau de echivalenta.
Adevarul e ca, daca toate radacinile lui f(x)=0 sunt simple, rezolvarea e completa(daca aratam ca si gradul lui g e tot n!!, asta cum??)
Insa daca am radacina dubla, "algebra " eliminarii nu ma asigura decat ca voi avea o radacina simpla pentru g! Trebuie alte argumente...Stiu doar ca g se anuleaza pentru a^2. De unde stiu la ce putere apare (y-a^2) in descompunerea lui g, sau eventual, ca se anuleaza derivata lui g in a^2?? ca altfel nu stiu cum putem "ataca" faptul ca radacina trebuie sa fie dubla.
Intodeauna m-au intrigat aceste eliminari intre relatii polinomiale de grad superior, banuiesc ca exista o teorie generala la ele.

Si ma "apasa pe creier" :lol: si treaba asta cu multiplicitatea. Nu reusesc sa-i dau de capat sub niciun fel(pe cazul general, ca am studiat si cazuri particulare o multime si am avut ceva succes, cu functia u liniara sau de gradul 2). De aia cred ca trebuie sa fie ceva teorie mai generala care se foloseste.(am "auzit", asa vag, de baze Grobner, teorema lui Hilbert denumita "Nullstellensatz" etc).
Cin ma lamureste, e mare om si mare profesor, eventual.
Numai bine!

Dificultatile pe care le mentionati provin din pacate din enuntul ambiguu al problemei.

Adica: daca f e polinom si u e o functie oarecare (n-are importanta daca e polinom etc.), intotdeauna putem forma polinomul g ale carui radacini sunt de forma u(a) ( cu f(a)=0 ).

Incercati sa reformulati problema in mod precis.

[Citat] Dificultatile pe care le mentionati provin din pacate din enuntul ambiguu al problemei. Adica: daca f e polinom si u e o functie oarecare (n-are importanta daca e polinom etc.), intotdeauna putem forma polinomul g ale carui radacini sunt de forma u(a) ( cu f(a)=0 ). Incercati sa reformulati problema in mod precis.

Ce anume e ambiguu?? Este clar ca putem forma polinomul g, pe mine ma intereseaza CUM il formam, si daca metoda mea e corecta intotdeauna.(adica daca pastreaza radacinile multiple). Poate ca e un grad mult prea mare de generalitate, dar asta nu inseamna ambiguu.
Am o ecuatie polinomiala de grad n, o functie rationala u, se elimina x intre relatiile acelea(si am si spus, pentru evitarea ambiguitatii, eliminarea se poate face folosind rezultantul a doua polinoame, deci se poate considera ca intotdeauna am un rezultat unic si bine determinat al eliminarii. )
Am spus: u e functie rationala! Asta ca sa putem elimina x intre relatiile acelea doua si sa obtinem tot o ecuatie algebrica!!!! ca altfel nu ar merge.

Bine, atunci sa luam un caz particular. Sa zicem ca ecuatia f(x)=0 e de gradul trei. x^3+ax^2+bx+c=0, cu radacinile x_1,x_2,x_3.
Se cere sa se formeze ecuatia in y cu radacinile y_i=(x_i)^2.
O varianta e cu relatiile lui Viete, bineinteles, sa calculam toate sumele
pentru radacinile y_i. Dar e cam mult de munca.
Atunci putem face altfel.
Luam x^3+ax^2+bx+c=0 si y=x^2 si eliminam x(nu e greu), sa gasim ce relatie satisface y. Gasim
y^3+(2b-a^2)y^2+(b^2-2ac)y-c^2=0.
Bun. Acum daca x_1 e radacina pentru f(x)=0, e clar ca y_1=x_1^2 e radacina pentru g(y)=0( anularea lui g(y_1) e o consecinta a eliminarii).
Dar solutia asta nu e nicidecum completa, deoarece, daca, sa zicem
x_1=x_2=a(radacina dubla), cine ne garanteaza ca y_1=y_2=a^2 e radacina dubla pentru ecuatia in y??
Intelegeti ce vreau sa spun?? Eu am reusit sa demonstrez ca y_1 e radacina dubla, dar ptr cazul asta particular(functia u(x)=x^2). de aceea vroaim sa stiu daca exista o demonstyratie pentru cazul general, cu functia u oarecare.
Adsica daca eliminarea pastreaza multiplicitatile.

In primul rand trebuie sa punem conditia ca numitorul lui u nu are nimic de-a face cu f...

Deoarece geometria algebrica are traditie in Romania de pretutindeni, problema ar trebui sa ne fie deja in sange. Nu pot sa explic in detaliu care sunt lucrurile deja etablate in domeniu, dar propun o metoda experimentala de aproximat cunoasterea, eu dau un raspuns general / aluziv / imprecis, dar care vrea sa izoleza ideea, si promit sa raspund exact la intrebari exacte ce deriveaza...

Mai intai un mare ocol.
De felul meu sunt programator, asa ca exemplul l-am scris repede cu calculatorul:
Cod sage (cer scuze, dar curand se precizeaza si matematic lucrurile acestea):

R.<x,y> = PolynomialRing( QQ, 2 )
R
f = ( x^3 -x +1 )*(x-1)^2
a = x^2 +x +1
b = x^5 -2*x^2 +x +1
unIdeal = R.ideal( [ f, a*y-b ] )
BazaGroebner = unIdeal . groebner_fan() . buchberger()
for g in BazaGroebner:
print g

latex(BazaGroebner)

(a*y-b).resultant( f )

Rulare dupa copy+paste in interpreter

Iata care este problema noastra, foarte speciala:

Lucram peste inelul polinomial Q[x,y] in variabilele (transcendente) x si y peste numerele rationale Q. Definim doua ecuatii, si dorim sa le gasim toate solutiile... (ca sa ne exprimam in terminologia de a IX-a)

unde

si Polinoamele a si f NU AU DIVIZORI COMUNI (neconstanti/neunitati).
Am luat arbitrar cateva polinoame f,a,b ca sa nu vorbesc in gol / teoretic mai sus. La nivel de clasa a IX-a lucrurile sunt clare. Facem rost de cele 5 radacini ale lui f si desigur ca pentru fiecare calculam valoarea corespunzatoare a lui y substituind y = b(x)/a(x) . (La capitolul facem rost avem insa cateva probleme.)

La nivel de geometrie algebrica, sistemele de ecuatii se inlocuiesc printr-un ideal, anume multimea tuturor ecuatiilor algebrice ce pot fi obtinute din ecuatiile date.
La noi, cele doua ecuatii sunt date de f si (ay-b), doua ecuatii in sistem - daca egalam cu zero, doi "generatori in ideal", iar idealul este multimea tuturor "ecuatiilor ce pot fi obtinute", deci a tuturor "combinatiilor liniare" de forma

p f + q (ay-b)

cu p si q polinoame arbitrare.
Ei bine, eliminarea lui x se traduce prin a gasi in ideal un polinom ce nu depinde de x, daca o fi vreunul. Din cele de mai sus putem descrie cadrul matematic:

Aceasta trecere de la generatorii ( f, ay-b ) la generatorii (g,h) este algoritmica, algoritmul poarta numele lui Buchberger,
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Buchberger%27s_algorithm
iar structura matematica ce poate fi izolata poarta numele lui Groebner
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6bner_basis .

La nivel de clasa a IX-a cel mai simplu lucurile se ordoneaza asa:
Ni s-au dat doua ecuatii. Cum ni s-au dat, mai intai il gaseam pe x, apoi usor pe y. Dat cineva vrea o alta "ordine a monoamelor" si un sistem de ecuatii echivalent, in care mai intai dam de y si apoi (usor) de x.
Faptul ca o astfel de trecere este posibila (sau nu) de la caz la caz este formalizat de conceptul de baza Groebner. Nu insist. Dar pe ce e vizibil mai sus sper ca trecerea este clara.

Ca sa fie poate si mai clar, computerul ne poate repede arata cu se scrie (ecuatia in care il facem zero pe) g ca o combinatie liniara de (ecuatiile in care...) f si (ay-b) . Sa vedem (tinand seama de codul deja tiparit) mai intai o verificare... (ca si cand n-am sti de rezultantul de mai sus):

sage: g = BazaGroebner[0]
sage: g
y^5 + 100/21*y^4 - 230/63*y^3 + 197/63*y^2 - 103/63*y + 17/63
sage: g in unIdeal
True

...


Ocolul s-a terminat, acum pe bune.
Un procedeu standard din geometria algebrica este cel al deformarii in astfel de cazuri. De ce sa lucram mai departe peste Q, cand putem lucra peste Q(e), e e un fel de epsilon. Q(e) este corpul de fractii in necunoscuta transcendenta e.

In loc sa lucram cu f-ul de mai sus, putem la fel de bine lucra cu

In acelasi mod putem construi rezultantul. Nu exista teama de faptul ca epsilon va apare cumva in vreun numitor la acest procedeu. Daca problema multiplicitatilor este clara pentru radacini distincte, ea este clara si in cazul de fata.
(Presupunand ca stim de existenta inchiderii algebrice a corpului Q(e) si...)
Obtinem un polinom g care depinde de epsilon si vazand ca g se obtine din f si (ax-b) prin procedee ce "nu strica algebricitatea / continuitatea" in epsilon, putem afirma linistiti, ca trecand cu epsilon spre zero, acel u(1+epsilon) va converge la u(1)...

Fiind uituc, nu-mi amintesc defini?ia "elimin?rii", sau n-am inv??at a?a ceva în facultate. Aceasta este amiguitatea la care m-am referit.

Ce se d?. Un polinom f ?i o func?ie ra?ional? u=a/b al c?rei numitor este prim fa?? de f.

Ce se cere. Polinomul ale c?rui r?d?cini sunt de forma u(t), unde t sunt r?d?cinile lui f. Vrem s? p?str?m multiplicitatea.

O abordare este urm?toarea:

• Cu algoritmul lui Euclid determin?m polinoamele c, d cu proprietatea c? bc+df=1. Introducem polinomul g=ac. În acest moment, oricare ar fi t o r?d?cin? a lui f avem g(t)=u(t). Am redus problema la o func?ie polinomial?.
  
  Not?. Gradul polinomului g poate fi redus la nevoie prin împ?r?irea cu rest la polinomul f.
  
  
• Form?m matricea companion a lui f. Not?m aceast? matrice cu A.
  
• Calcul?m matricea g(A). Polinomul c?utat este polinomul caracteristic al acestei matrici !!!!
  

Faptul c? multiplicit??ile r?d?cinilor sunt men?inute prin acest proces este o consecin?? direct? a descompunerii matricii A în forma Jordan!

Exemplu: se dau

.

• G?sim
  
  .
  
• G?sim
  
  
  
  
• Avem
  
  
  
  iar polinomul caracteristic este
  
  
  
  
  Profit de ocazie pentru a mul?umi tuturor pentru întreb?rile puse, sau r?spunsurile date. V? ur?m s?rb?tori fericite!

Interesante raspunsuri. In mod sigur acesta e un forum foarte util, cu oameni foarte bine pregatiti in matematica de orice nivel.
@gauss: martrisesc ca m-am gandit si eu la ideea cu folosirea continuitatii, intrucat personal am fost intotdeauna mai bun la analiza, spre deosebire de algebra , unde nu "simt " asa de bine unele lucruri, ba chiar ma mir cateodata de cat de simplu era, dupa ce "m-am prins".
A, si am gasit si eu o varianta de solutie ptr pastrarea multiplicitatii, folosind rezultantul a doua polinoame si exprimarea lui ca produs de toate diferentele de radacini ale celor doua polinoame.(plus ca am gasit undeva o "teorema generala de eliminare" care spune ca, date 2 polinoame, oricum am elimina o variabila intre ele, polinomul rezultat obligatoriu contine ca factor rezultantul celor doua polinoame initiale).
Insa tot e bine ca, pornind de la aceasta problema, am descoperit ca exista o teorie generala si pentru sisteme neliniare, de orice grad, si anume de asta se ocupa geometria algebrica, un domeniu foarte interesant. Eu care eram ferm convins ca nu exista asa ceva decat ptr sisteme liniare. Interesante lucruri cu bazele alea grobner, mai ales ca sunt lucruri relativ recente, descoperite abia in anii '60.
Iar referitor la eliminare, intodeauna am fost mirat ca, in culegeri de pana prin 50-60(ale lui Cosnita, Sacter, etc) erau cu duiumul probleme privind eliminarea unor parametri si variabile. Ca tot spunea gauss ca geometria algebrica ar trebui sa ne fie in sange.
Insa apoi, incepand cu anii 70-80 au disparut brusc, nu pricep de ce.
Plus ca, despre rezultantul a doua polinoame nu se scrie in ABSOLUT nicio carte de matematica din Romania scoasa dupa anul 1975. Din nou, ciudat. Cel putin, in niciuna pe care s-o fi deschis eu, e posibil sa gresesc.
Si deasemenea, la cursul din anul intai de curbe si suprafete, se face apel foarte des la "eliminam pe x, y,z,m, lambda, etc din relatiile si gasim ecuatia" si intodeauna m-am intrebat de ce aceasta eliminare se poate face tot timpul si de ce ecuatia obtinuta e echivalenta, etc. Acum am inteles, da, de astea se ocupa geometria algebrica.

[Citat] Si deasemenea, la cursul din anul intai de curbe si suprafete, se face apel foarte des la "eliminam pe x, y,z,m, lambda, etc din relatiile si gasim ecuatia" si intodeauna m-am intrebat de ce aceasta eliminare se poate face tot timpul si de ce ecuatia obtinuta e echivalenta, etc. Acum am inteles, da, de astea se ocupa geometria algebrica.

Nu. În acel caz argumentul corect este teorema func?iilor implicite.