(1)
Operatia / opperatorul Fr nu a fost definit. Presupun ca este vorba de frontiera.

Nucleul unui lucru din matematica este apelat asa doar pentru lucruri liniare. Functiile din enunt sunt insa patratice. Cuvantul nucleu il inlocuiesc cu ceva de forma "multimea punctelor unde se anuleaza..."

Consideram deci cele doua varietati diferentiabile din IR^3 date de (cineva tot trebuie sa tipareasca... iar ca sa nu stric tasta _ voi folosi x,y,z...)

pentru orice punct (x,y,z) din spatiul real (3D).
Fie N(f) si respectiv N(g) multimea punctelor din domeniul de definitie al lui f, respectiv g, ce sunt trimise prin f respectiv g in zero = 0, si notam
A = N(f) = preimaginea lui {0} prin f,
B = N(g) = preimaginea lui {0} prin g.

Deoarece A si B sunt suprafete reale (varietati reale de dimensiune 2, regulate, elipsoid si respectiv paraboloid,) scufundate in spatiul real 3d, frontierele lor (calculate in IR^3) sunt respectiv

Fr(A) = A si
Fr(B) = B .

Cautam punctele in care A (o suprafata) intersecteaza B (o alta suprafata).
Este natural de obicei sa dam de o curba. De obicei neplana. Atunci intersectia lui Fr(A) cu Fr(B) nu sta prea des intr-un plan (pi).
Sa vedem cum stau lucurile la noi. Banuim deja ca o mare intamplare se intampla.

Intr-adevar, studiind elipsoidul A de ecuatie

vedem ca are centrul in (1,-1,2) si este bagat in "cu,sca / cutia" (paralelipipedul solid inchis)

Ecuatia paraboloidului se rescrie

Daca e vreun punct in intersectie, atunci x-ul corespunzator este in [1/2,3/2] (din restrangerea cutiei), deci partea stanga este mai mica sau egala cu zero.
Partea dreapta este o suma de patrate... Ramane doar cazul de noroc
x=3/2, y=1, z=2, care are ghinion, deoarece y-ul iese din cusca.

Pe scurt: Planul (phi) de ecuatie (x=3/2) separa N(f) de N(g) in doua hiperspatii diferite. N(f) si N(g) sunt tangente la (phi), dar in puncte diferite.

Care este sursa problemei?
(Este tarziu si sunt obosit, dar nu vad unde am gresit...)
Code de verificare

Functia data este in afara punctului (0,0) data de

iar acel ? este mai degraba 8 decat 3, altfel, daca luam y=-1 iar avem probleme cu numitorii. Plec de la ideea ca e 8.

f este evident derivabila cu derivata continua pe IR^2 fara (0.0), deoarece este o functie rationala cu numitorul ce nu se anuleaza pe domeniu. Derivatele partiale nu prezinta problema.

Deoarece pentru x real diferit de zero

nu se poate continua continuu in x=0, nici f-ul dat nu se poate continua continuu in (0,0). Cu aceasta se spulbera orice sperante de diferentiabilitate.

Totusi, exista oameni care vor sa calculeze pentru alfa=0 (si numai pentru aceasta valoare) derivatele pe directiile date de puncte variabile
(x,0) - axa x-ilor , si respectiv
(0,y) - axa y-ilor .
Deoarece pe aceste directii f este nula, exista derivatele partiale.

Totusi, acest lucru contrasteaza pentru mine cu folosirea uzuala a operatorului Nabla... (Numai cand avem functii diferentiabile am avea voie sa-l scriem.)
dar se pare ca nu contrasteaza cu cele facute la curs.

(3a)

(=> Fie / presupunem f quasiafina.
Fie a fixat in IR.
Fie x,y doua puncte in multimea "de nivel a" { z din C : f(z) = a } .
Pe scurt: f(x) = f(y) = a .
Atunci din proprietatea data avem pentru orice z de pe segmentul [x,y] (din spatiul IR^n) relatia:

a = min( a,a ) = min( f(x), f(y) ) <= f(z) <= max( f(x), f(y) ) = max( a,a ) = a

deci f(z) = a, deci z se afla in multimea care trebuie.
(Nu am folosit continuitatea nicicum.)

(<=) Presupunem ca f nu este quasiafina.
Atunci gasim doua puncte x,y in C pentru care imaginea segmentului [x,y] din IR^n nu este inclusa in intervalul ca capetele in f(x) si f(y).
Ca sa mai simplificam din lucruri, eventual schimband x cu y si f cu -f,
putem presupune ca

(*) f(x) este mai mic sau egal decat f(y) si ca
(*) exista z pe [x,y] pentru care f(z) < f(x) .

Atunci, aplicand teorema lui Rolle pentru

vedem ca avem g(0) = 0, g(1) >= 0
si ca exista un b (corespunzator lui z) in [0,1] cu g(b) < 0
si apoi ca exista un c intre b si 1 cu g(c) = 0 .

Punctele 0 < b < c <= 1 de pe [0,1] se corespund cu puncte
x , z, w, y de pe segmentul [x,y] "in aceasta ordine" si este evident ca
x,w se afla in multimea de nivel f(x),
dar punctul "intermediar" z nu se afla...

Deci multimea de nivel a=f(x) nu este convexa. Am gasit un a, care...

(4)
Consideram k natural >0 si functia polinomiala

Ei bine, acesta este un polinom in x,y,z si putem da factor comun (x-y), deoarece vazand doar x-ul ca variabila (si y,z ca parametrii) ajunge sa ne legam de (Bezout)
g(x,x,z) = ... = 0

La fel se stabileste si divizibilitatea cu (y-z) si (z-x).
Deoarece in inelul (factorial) al polinoamelor in x,y,z din divizibilitatea cu polinoamele prime intre ele doua cate doua (fara factori comuni)
(x-y) si (y-z) si (z-x)
rezulta divizibilitatea cu produsul lor, rezulta ca expresia

este o functie polinomiala, deci regulata (i.e. de clasa C^infinit).

Mai ramane sa vedem cum facem rost de expresia lui f(x,x,z) de exemplu.
Ajunge sa vedem ca pentru x =/= z (stiind deja continuitatea)...

Ma opresc aici.

Problema 1) nu este adv?rat?, dup? cum a observat gauss.

O metod? alternativ? de a privi lucrurile: în general, vectorul normal la o suprafa?? de ecua?ie

este tocmai

. Dac? cele dou? suprafe?e ar fi tangente într-un punct

atunci cei doi vectori normali ar fi coliniari, deci am avea o rela?ie de genul

Cazul

duce la

?i în cele din urm? la o contradic?ie.
Pentru cazul r?mas, substituind valorile de mai sus în ecua?ia celor dou? suprafe?e se ajunge la o alt? contradic?ie.

Grafic:

@gauss

[Citat] Operatia / opperatorul Fr nu a fost definit. Presupun ca este vorba de frontiera.

Da, este vorba de frontiera.

[Citat] Care este sursa problemei?

http://tinyurl.com/265mmak

http://tinyurl.com/2abrp93

[Citat] iar acel ? este mai degraba 8 decat 3, altfel, daca luam y=-1 iar avem probleme cu numitorii. Plec de la ideea ca e 8.

Se pare ca a avut loc o modificare... este 4 acum. Am 'updatat' si postul initial.